Ε ! όχι και Vieta ...
Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος
Ε ! όχι και Vieta ...
. Αν βρείτε τετράδα τέτοιων ακεραίων ,
γράψτε την και θα κερδίσετε την εκτίμησή μου Ελπίζω να αντιληφθήκατε ,
ότι τα εγειρόμενα ερωτήματα είναι πολλλλλά και μεγάλα
Λέξεις Κλειδιά:
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5284
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Ε ! όχι και Vieta ...
Καλησπέρα σε όλους.
Ξεκινώ με επεξεργασία της γενικής μορφής:
Θέτω .
Η συνάρτηση έχει παράγωγο .
Είναι , γνησίως φθίνουσα στο και γνησίως αύξουσα στο , με οπότε έχει μοναδική θετική ρίζα.
Ειδικές περιπτώσεις
Αν , τότε η εξίσωση γίνεται , που έχει ρίζες , διπλή που απορρίπτεται και , που είναι δεκτή για κάθε θετικό ακέραιο , οπότε έχουμε τετράδες λύσεων.
Εντοπίζω και άλλες λύσεις: ή ή Αναρτώ ως εδώ και θα συνεχίσω τη διερεύνηση.
edit:
Έψαξα και τη δυνατότητα εφαρμογής της μεθόδου που περιγράφει ΕΔΩ ο σεβαστός καθηγητής μου κύριος Μπάμπης Δημητριάδης σε μια διάλεξη πριν λίγα χρόνια, σε ηλικία 82 ετών, τότε! Όμως, νομίζω ότι η επιλύουσά της είναι αρκετά πολύπλοκη.
Ξεκινώ με επεξεργασία της γενικής μορφής:
Θέτω .
Η συνάρτηση έχει παράγωγο .
Είναι , γνησίως φθίνουσα στο και γνησίως αύξουσα στο , με οπότε έχει μοναδική θετική ρίζα.
Ειδικές περιπτώσεις
Αν , τότε η εξίσωση γίνεται , που έχει ρίζες , διπλή που απορρίπτεται και , που είναι δεκτή για κάθε θετικό ακέραιο , οπότε έχουμε τετράδες λύσεων.
Εντοπίζω και άλλες λύσεις: ή ή Αναρτώ ως εδώ και θα συνεχίσω τη διερεύνηση.
edit:
Έψαξα και τη δυνατότητα εφαρμογής της μεθόδου που περιγράφει ΕΔΩ ο σεβαστός καθηγητής μου κύριος Μπάμπης Δημητριάδης σε μια διάλεξη πριν λίγα χρόνια, σε ηλικία 82 ετών, τότε! Όμως, νομίζω ότι η επιλύουσά της είναι αρκετά πολύπλοκη.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ε ! όχι και Vieta ...
Από το Θεώρημα του Πτολεμαίου είναι . Υψώνουμε στο τετράγωνο: που απλοποιώντας τον σταθερό όρο και διαιρώντας με καταλήγουμε στην ζητούμενη.
Για ακέραιες λύσεις παίρνουμε το πάνω μισό κανονικού εξαγώνου πλευράς κύκλου ακτίνας . Είναι τότε (απειρία ακέραιων λύσεων).
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Δευ Μαρ 25, 2019 11:02 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ε ! όχι και Vieta ...
Γράφω έναν ωραίο τρόπο εύρεσης άπειρων ακέραιων λύσεων (που επίσης δίνει και ακέραιες διαγώνιες).
Αρχίζουμε με οποιαδήποτε δύο ορθογώνια τρίγωνα με ακέραιες πλευρές. Παίρνοντας πολλαπλάσιο των πλευρών τους μπορούμε να βρούμε δύο τέτοια τρίγωνα με ίσες υποτείνουσες. Π.χ. από τα ορθογώνια με πλευρές λαμβάνουμε τα . Τα τοποθετούμε στο ημικύκλιο ως αντίστοιχα, εδώ , όλα ακέραια. Από Πτολεμαίο είναι ίσον επίσης ακέραιος. Τελειώσαμε.
.
Αρχίζουμε με οποιαδήποτε δύο ορθογώνια τρίγωνα με ακέραιες πλευρές. Παίρνοντας πολλαπλάσιο των πλευρών τους μπορούμε να βρούμε δύο τέτοια τρίγωνα με ίσες υποτείνουσες. Π.χ. από τα ορθογώνια με πλευρές λαμβάνουμε τα . Τα τοποθετούμε στο ημικύκλιο ως αντίστοιχα, εδώ , όλα ακέραια. Από Πτολεμαίο είναι ίσον επίσης ακέραιος. Τελειώσαμε.
.
- Συνημμένα
-
- Ptolemaios 2.png (14.26 KiB) Προβλήθηκε 605 φορές
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ε ! όχι και Vieta ...
Σωστά. Η περίπτωση αυτή είναι η σε αυτά που έγραφα. Δίνει και ακέραιες διαγωνίους και , αντίστοιχα.
Ας προσθέσω ότι στην κατασκευή που έγραψα, το "αναμενόμενο" είναι οι πλευρές να είναι διαφορετικές. Απλά επιλέγει κανείς "διαφορετικά" αρχικά ορθογώνια τρίγωνα και ουσιαστικά τα υπόλοιπα φτιάχνουν μόνα τους, εκτός της σπάνιας περίπτωσης που σπάει ο διάολος το ποδάρι του και το βγει να είναι ίσο με ένα από τα υπόλοιπα μεγέθη.
Re: Ε ! όχι και Vieta ...
Από ν. συνημιτόνου : , οπότε αντικαθιστώντας :
.
Ο Vieta μας υποδεικνύει ότι για τις τρεις ρίζες , ισχύει : , συνεπώς
αν η μεγαλύτερη είναι η θετική , τότε οι δύο άλλες είναι αρνητικές ( και άρα απορρίπτονται ) ..
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες