Κριτήριο ισοσκελούς 5
Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Κριτήριο ισοσκελούς 5
Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές;
Η άσκηση είναι γνωστή. Παρόλα αυτά, ενδιαφέρομαι για το πόσες διαφορετικές λύσεις μπορούμε να συγκεντρώσουμε,
γι αυτό την έβαλα σε ουδέτερο φάκελο δίχως δεσμεύσεις. Θα παρακαλούσα όμως να αποφύγουμε τις παραπομπές.
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Κριτήριο ισοσκελούς 5
Γεια σου Γιώργο.george visvikis έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 24, 2019 6:34 pmΣτην πλευρά τριγώνου θεωρούμε δύο σημεία ώστε και
Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές;
Η άσκηση είναι γνωστή. Παρόλα αυτά, ενδιαφέρομαι για το πόσες διαφορετικές λύσεις μπορούμε να συγκεντρώσουμε,
γι αυτό την έβαλα σε ουδέτερο φάκελο δίχως δεσμεύσεις. Θα παρακαλούσα όμως να αποφύγουμε τις παραπομπές.
Έστω τα περίκεντρα των , αντίστοιχα.
Από Ν. Ημιτόνων, .
Άρα, . Επίσης, .
Συνεπώς, τα τρίγωνα , έχουν , την κοινή, και , άρα είναι ίσα.
Συνεπώς, είναι εγγράψιμο. Αφού όμως , είναι ισοσκελές τραπέζιο.
Άρα, , και αφού , οπότε , οπότε τα είναι ίσα, συνεπώς , οπότε , και το ζητούμενο έπεται.
Υ.Γ. Νομίζω έχω ξαναγράψει την ίδια απόδειξη στο forum, αλλά δεν βρίσκω το link.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Κριτήριο ισοσκελούς 5
Και μία άλλη, αρκετά συντομότερη.
Έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του , και , .
Τότε, και .
Άρα, τα , είναι ίσα, επομένως .
Έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του , και , .
Τότε, και .
Άρα, τα , είναι ίσα, επομένως .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Re: Κριτήριο ισοσκελούς 5
Καλημέραgeorge visvikis έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 24, 2019 6:34 pmΚριτήριο ισοσκελούς.5.png
Στην πλευρά τριγώνου θεωρούμε δύο σημεία ώστε και
Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές;
Μία ακόμη, ελπίζω σωστή, λύση...
Τα τρίγωνα και είναι ισεμβαδικά αφού έχουν και κοινό ύψος .
Επίσης έχουν από μία ίση γωνία (στην κορυφή ) έτσι είναι:
Τα τρίγωνα και είναι όμοια αφού έχουν δύο ανάλογες πλευρές μια προς μια (από ) και ίσες τις περιεχόμενες γωνίες τους ως αθροίσματα ίσων γωνιών.
Άρα οπότε τρίγωνο είναι ισοσκελές με
- Συνημμένα
-
- Κριτήριο ισοσκελούς.5.png (15.08 KiB) Προβλήθηκε 1542 φορές
Ηλίας Καμπελής
Re: Κριτήριο ισοσκελούς 5
george visvikis έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 24, 2019 6:34 pmΚριτήριο ισοσκελούς.5.png
Στην πλευρά τριγώνου θεωρούμε δύο σημεία ώστε και
Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές;
Η άσκηση είναι γνωστή. Παρόλα αυτά, ενδιαφέρομαι για το πόσες διαφορετικές λύσεις μπορούμε να συγκεντρώσουμε,
γι αυτό την έβαλα σε ουδέτερο φάκελο δίχως δεσμεύσεις. Θα παρακαλούσα όμως να αποφύγουμε τις παραπομπές.
Κατασκευάζω τα παραλληλόγραμμα
Εστω
Από τα ισεμβαδικά τρίγωνα
Στα ίδια τρίγωνα απο το νόμο συνημιτόνων
λόγω της
Αρα ,τα σημεία δεν ταυτίζονται και ομοίως τα
Γιάννης
- Συνημμένα
-
- Κριτήριο ισοσκελούς 5.png (68.16 KiB) Προβλήθηκε 1503 φορές
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Κριτήριο ισοσκελούς 5
Χαιρετώ τους φίλους!
Τα τρίγωνα είναι όμοια οπότε και .Όμως .
ΟΙ και αντιφάσκουν. Ομοίως αποκλείουμε .Τελικά άρα .
Φιλικά , Γιώργος.
Φέρω . Έστω τότε . Τα τρίγωνα είναι όμοια οπότε και .Όμως .
ΟΙ και αντιφάσκουν. Ομοίως αποκλείουμε .Τελικά άρα .
Φιλικά , Γιώργος.
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Κριτήριο ισοσκελούς 5
george visvikis έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 24, 2019 6:34 pmΚριτήριο ισοσκελούς.5.png
Στην πλευρά τριγώνου θεωρούμε δύο σημεία ώστε και
Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές;
Η άσκηση είναι γνωστή. Παρόλα αυτά, ενδιαφέρομαι για το πόσες διαφορετικές λύσεις μπορούμε να συγκεντρώσουμε,
γι αυτό την έβαλα σε ουδέτερο φάκελο δίχως δεσμεύσεις. Θα παρακαλούσα όμως να αποφύγουμε τις παραπομπές.
Ο περίκυκλος του τριγώνου τέμνει την στο και του τριγώνου τέμνει την στο
Προφανής είναι η ισότητα των πράσινων και των κόκκινων γωνιών κι επειδή
Έτσι ,οι δυο κύκλοι είναι ίσοι κι επειδή από την ισότητα των είναι
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Κριτήριο ισοσκελούς 5
Σας ευχαριστώ όλους για τις λύσεις. Ας δούμε άλλη μία.
Επειδή οι είναι ισογώνιες, Αλλά, Άρα,
Re: Κριτήριο ισοσκελούς 5
Καλησπέρα!
Αφού έχει περάσει ένα εύλογο χρονικό διάστημα και έχουν δημοσιευθεί πολλές και όμορφες λύσεις, ας μου επιτραπεί να παραθέσω ένα σύνδεσμο από το παρελθόν με άλλες ωραίες λύσεις.
Εκεί έγραφα:
"(...)Το πρόβλημα το συνάντησα διαβάζοντας το "Favorite Problems at BMC, Part 1, Circle Geometry" του Ivan Matic
στο βιβλίο της Stankova που εκδόθηκε πρόσφατα από την AMS.
Στη σελίδα 225 αναφέρει ότι τέθηκε στη Bay Area Mathematical Olympiad toy 2007. Από τις 157 λύσεις που επιχειρήθηκαν την ώρα
του διαγωνσιμού το ένα τρίτο έλαβε άριστα ή σχεδόν άριστα. Σχεδόν όμως όλες οι λύσεις χρησιμοποιούσαν κάποιους όχι τόσο εύκολους τριγωνομετρικούς ή αναλυτικογεωμετρικούς υπολογισμούς.
Στη σελίδα http://www.bamo.org/archives και στο αρχείο του 2007 μπορεί κανείς να μελετήσει τέσσερεις διαφορετικές λύσεις, οι οποίες είναι μάλιστα διαφορετικές από αυτές που επινοήθηκαν και παρουσιάστηκαν εδώ!
Αναφέρω μόνο την πρώτη για την οποία επισυνάπτω και σχήμα.
"Μετατοπίζουμε το τρίγωνο παράλληλα προς την έτσι ώστε η πλευρά να συμπέσει με την . Έτσι παίρνουμε το τρίγωνο . Τότε το είναι τραπέζιο εγγράψιμο σε κύκλο. Άρα οι διαγώνιοι του θα είναι ίσοι, οπότε ." "
Φιλικά,
Αχιλλέας
Αφού έχει περάσει ένα εύλογο χρονικό διάστημα και έχουν δημοσιευθεί πολλές και όμορφες λύσεις, ας μου επιτραπεί να παραθέσω ένα σύνδεσμο από το παρελθόν με άλλες ωραίες λύσεις.
Εκεί έγραφα:
"(...)Το πρόβλημα το συνάντησα διαβάζοντας το "Favorite Problems at BMC, Part 1, Circle Geometry" του Ivan Matic
στο βιβλίο της Stankova που εκδόθηκε πρόσφατα από την AMS.
Στη σελίδα 225 αναφέρει ότι τέθηκε στη Bay Area Mathematical Olympiad toy 2007. Από τις 157 λύσεις που επιχειρήθηκαν την ώρα
του διαγωνσιμού το ένα τρίτο έλαβε άριστα ή σχεδόν άριστα. Σχεδόν όμως όλες οι λύσεις χρησιμοποιούσαν κάποιους όχι τόσο εύκολους τριγωνομετρικούς ή αναλυτικογεωμετρικούς υπολογισμούς.
Στη σελίδα http://www.bamo.org/archives και στο αρχείο του 2007 μπορεί κανείς να μελετήσει τέσσερεις διαφορετικές λύσεις, οι οποίες είναι μάλιστα διαφορετικές από αυτές που επινοήθηκαν και παρουσιάστηκαν εδώ!
Αναφέρω μόνο την πρώτη για την οποία επισυνάπτω και σχήμα.
"Μετατοπίζουμε το τρίγωνο παράλληλα προς την έτσι ώστε η πλευρά να συμπέσει με την . Έτσι παίρνουμε το τρίγωνο . Τότε το είναι τραπέζιο εγγράψιμο σε κύκλο. Άρα οι διαγώνιοι του θα είναι ίσοι, οπότε ." "
Φιλικά,
Αχιλλέας
-
- Δημοσιεύσεις: 42
- Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2018 5:40 pm
Re: Κριτήριο ισοσκελούς 5
Έστω τα κέντρα των περιγεγραμμένων κύκλων των αντίστοιχα. Με νόμο ημιτόνων έχουμε , και αφού και προκύπτει ότι .
Έστω το μέσον του και έστω . Έστω επίσης
το 2ο σημείο τομής των κύκλων και
Τότε, μετά από πράξεις προκύπτει ότι . Άρα το ανήκει στον ριζικό άξονα των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων άρα τα είναι συνευθειακά.
Επίσης, αφού και , προκύπτει . Άρα επειδή , τα ισοσκελή τρίγωνα και είναι ίσα, άρα και άρα .
Είναι όμως και αφού και προκύπτει .
Άρα και από το αντίστροφο του Θεωρήματος Θαλή έχουμε .
Επειδή προκύπτει . Άρα η είναι μεσοκάθετη της άρα
[ggb=011c945f30ce2cbafc452f39840f025693339c42][/ggb]
Καλό απόγευμα!
Έστω το μέσον του και έστω . Έστω επίσης
το 2ο σημείο τομής των κύκλων και
Τότε, μετά από πράξεις προκύπτει ότι . Άρα το ανήκει στον ριζικό άξονα των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων άρα τα είναι συνευθειακά.
Επίσης, αφού και , προκύπτει . Άρα επειδή , τα ισοσκελή τρίγωνα και είναι ίσα, άρα και άρα .
Είναι όμως και αφού και προκύπτει .
Άρα και από το αντίστροφο του Θεωρήματος Θαλή έχουμε .
Επειδή προκύπτει . Άρα η είναι μεσοκάθετη της άρα
[ggb=011c945f30ce2cbafc452f39840f025693339c42][/ggb]
Καλό απόγευμα!
Κωνσταντινίδης Κωνσταντίνος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες