Όλοι ακέραιοι

#1

: Ολοι ακέραιοι.png (23.01 KiB) Προβλήθηκε 404 φορές

Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου

. Θεωρούμε χορδή BA = 60

. Ας είναι

η προβολή του

στη

.

Άλλη χορδή

τέμνει το τμήμα

στο

. Αν

να υπολογιστούν :

α) Το τμήμα x = BE

β) Η διάμετρος

έτσι ώστε όλα τα τμήματα : $EA\,,\,\,EB,\,DB\,,\,\,DE\,,\,\,DC\,,AZ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZC$ να έχουν ακέραιο μήκος.

#2

Doloros έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 27, 2019 11:36 pm
Ολοι ακέραιοι.png

Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου . Θεωρούμε χορδή . Ας είναι η προβολή του στη .

Άλλη χορδή τέμνει το τμήμα στο . Αν να υπολογιστούν :

α) Το τμήμα

β) Η διάμετρος έτσι ώστε όλα τα τμήματα : $EA\,,\,\,EB,\,DB\,,\,\,DE\,,\,\,DC\,,AZ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZC$ να έχουν ακέραιο μήκος.

: Όλοι ακέραιοι.D.png (19.59 KiB) Προβλήθηκε 362 φορές

α) $\displaystyle x(x + 35) = BD \cdot BC = {60^2} \Leftrightarrow {x^2} + 35x - 3600 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 0}$ $\boxed{x=45}$

β) Οι ακέραιες τιμές των τμημάτων φαίνονται στο σχήμα. Αργότερα, δύο λόγια για το πώς προέκυψαν οι τιμές αυτές.

#3

Για το β) ερώτημα: Έστω AZ=n, AE=k, ED=m.

: Όλοι ακέραιοι.Dβ.png (18.75 KiB) Προβλήθηκε 342 φορές

Από Stewart στο τρίγωνο AEZ

βρίσκω $\displaystyle n = \frac{{4k}}{3},$ που σημαίνει ότι ο

είναι πολλαπλάσιο του

$\displaystyle 45 \cdot 35 = k(2m + k) \Leftrightarrow m = \frac{{1575 - {k^2}}}{{2k}},$ άρα ο 1575-k^2

είναι άρτιος, δηλαδή ο

περιττός.

Αλλά $\displaystyle {k^2} < 35 \cdot 45 \Leftrightarrow k \le 39$ και από τριγωνική ανισότητα στο AEZ,

είναι

Ανακεφαλαιώνοντας ο

είναι περιττός, πολλαπλάσιο του

και ανάμεσα στους

και

Άρα, $\displaystyle k \in \{ 21,27,33,39\} .$

Από αυτούς μόνο ο

δίνει ακέραιη τιμή του m=27.

Οπότε

και στη συνέχεια εύκολα προκύπτουν και οι υπόλοιποι.

Όλοι ακέραιοι

Όλοι ακέραιοι

Re: Όλοι ακέραιοι

Re: Όλοι ακέραιοι

Μέλη σε σύνδεση