Εύρεση σημείου

#1

: Εύρεση σημείου.png (22.54 KiB) Προβλήθηκε 422 φορές

Δίδονται ένας κύκλος , Ένα σημείο

εκτός αυτού και μια ευθεία .

Να βρεθεί σημείο

της ευθείας ώστε το

να ισούται με το εφαπτόμενο τμήμα

προς τον κύκλο .

Xriiiiistos · #2

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 31, 2019 2:20 pm
Εύρεση σημείου.png

Δίδονται ένας κύκλος , Ένα σημείο εκτός αυτού και μια ευθεία .

Να βρεθεί σημείο της ευθείας ώστε το να ισούται με το εφαπτόμενο τμήμα προς τον κύκλο .

O κύκλος, το σημείο και η ευθεία είναι σταθερά σημεία οπότε τα K,A

θα απέχουν από την ευθεία $h_{1},h_{2}$ και τα ίχνη των καθέτων τους θα είναι T,P

αντίστοιχα (τα h είναι σταθερά). PT=x

και αυτό σταθερό.

$MB^{2}=AK^{2}-R^{2}=KT^{2}+h_{1}^{2}-R^{2}$ ΚΑΙ αν το M μέσα στο x $AM^{2}=h_{2}^{2}+PM^{2}=h_{2}^{2}+(x-MT)^{2}$
[/tex] και εμείς θέλουμε MK=AM

ΆΡΑ $KT^{2}+h_{1}^{2}-R^{2}=h_{2}^{2}+(x-MT)^{2}\Leftrightarrow MT=\frac{h_{2}^{2}+R^{2}+x^{2}-h_{1}^{2}}{2x}$ Me λύση όταν 0<MT<x

Αν Μ έξω από το x τότε PM=x+MT

οπότε με τον ίδιο τρόπο καταλήγουμε $MT=\frac{-h_{2}^{2}-R^{2}-x^{2}+h_{1}^{2}}{2x}$ ΜΕ MT>0

STOPJOHN · #3

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 31, 2019 2:20 pm
Εύρεση σημείου.png

Δίδονται ένας κύκλος , Ένα σημείο εκτός αυτού και μια ευθεία .

Να βρεθεί σημείο της ευθείας ώστε το να ισούται με το εφαπτόμενο τμήμα προς τον κύκλο .

Από τα ορθογώνια τρίγωνα

$MKB,ASM,MB^{2}=MK^{2}-r^{2},(1), MA^{2}=AS^{2}+MS^{2},(2), (1),(2)\Rightarrow MK^{2}-r^{2}=AS^{2}+SM^{2}\Leftrightarrow MK^{2}-SM^{2}=d^{2}+r^{2}, d=AS$

Απο το δευτερο θεώρημα των διαμέσων

$MK^{2}-MS^{2}=2SK.NL$

Οπότε
$NL=\dfrac{d^{2}+r^{2}}{2SK}$

Δηλαδή το ζητούμενο σημείο προσδιορίζεται απο τη τομή της καθέτου στο σημείο

και τη δοθείσα ευθεία .

Γιάννης

ΥΓ .Υπάρχει και δεύτερο εφαπτόμενο τμήμα αρα υπάρχουν δυο λύσεις

#4

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 31, 2019 2:20 pm
Εύρεση σημείου.png

Δίδονται ένας κύκλος , Ένα σημείο εκτός αυτού και μια ευθεία .

Να βρεθεί σημείο της ευθείας ώστε το να ισούται με το εφαπτόμενο τμήμα προς τον κύκλο .

Παρεμφερές.

: Εύρεση σημείου.D.png (13.69 KiB) Προβλήθηκε 379 φορές

Έστω

η ακτίνα του κύκλου,

το μέσο του KA=a

και

η προβολή του

στο

$\displaystyle M{K^2} - {r^2} = M{B^2} = M{A^2} \Leftrightarrow M{K^2} - M{A^2} = {r^2} \Leftrightarrow 2a(NS) = {r^2}$ και $\boxed{KS = \frac{{{a^2} + {r^2}}}{{2a}}}$

Η κάθετη λοιπόν από το σταθερό σημείο

στη δοσμένη ευθεία, προσδιορίζει τη θέση του

#5

: Εύρεση σημείου.png (20.42 KiB) Προβλήθηκε 345 φορές

Τα σταθερά δεδομένα μας είναι : Ο κύκλος κέντρου

, η ευθεία $(\varepsilon )$ και το σημείο

. Σταθερή επομένως , κατά θέση και μήκος , είναι η απόσταση

.

Σταθερό είναι επίσης το εφαπτόμενο τμήμα

προς τον κύκλο

και η προβολή του,

στην

, καθώς και η μεσοκάθετος του

που τέμνει την ευθεία $(\varepsilon )$ στο ζητούμενο σημείο

.

Ο κύκλος (M,MA)

τέμνει τον αρχικό κύκλο στα σημεία επαφής .

Εύρεση σημείου

Εύρεση σημείου

Re: Εύρεση σημείου

Re: Εύρεση σημείου

Re: Εύρεση σημείου

Re: Εύρεση σημείου

Μέλη σε σύνδεση