Πιο κοντά δεν γίνεται

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10755
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Πιο κοντά δεν γίνεται

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Απρ 05, 2019 1:00 pm

Πιο  κοντά δεν γίνεται.png
Πιο κοντά δεν γίνεται.png (7.35 KiB) Προβλήθηκε 276 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC είναι AB=9 και AC=4 . Σημείο S κινείται

επί της υποτείνουσας BC , έτσι ώστε η κάθετη προς την AS , στο S , να τέμνει

την πλευρά AB στο σημείο T . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος AT .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8316
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πιο κοντά δεν γίνεται

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Απρ 05, 2019 7:11 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Απρ 05, 2019 1:00 pm
Πιο κοντά δεν γίνεται.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC είναι AB=9 και AC=4 . Σημείο S κινείται

επί της υποτείνουσας BC , έτσι ώστε η κάθετη προς την AS , στο S , να τέμνει

την πλευρά AB στο σημείο T . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος AT .

\displaystyle A{T_{\min }} = 8\sqrt {\frac{{\sqrt {97}  - 4}}{{\sqrt {97}  + 4}}}

Όποιος έχει κουράγιο ας το επαληθεύσει :lol:

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης και διόρθωση τυπογραφικού. Είχα ξεχάσει να πολλαπλασιάσω επί 8 το αποτέλεσμα. Τώρα Αλέξανδρε συμφωνούμε, αν και δεν φαίνεται αμέσως.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Παρ Απρ 05, 2019 8:58 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Altrian
Δημοσιεύσεις: 176
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Πιο κοντά δεν γίνεται

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Παρ Απρ 05, 2019 8:24 pm

Καλησπέρα σε όλους.

Το τμήμα AT είναι διάμετρος κύκλου που τέμνει την CB και γίνεται ελάχιστος όταν εφάπτεται στην CB.

Τότε έχουμε:

u=\dfrac{4*9}{\sqrt{97}}

\dfrac{u}{x}=\dfrac{9}{9-x}\Rightarrow x=\dfrac{36}{4+\sqrt{97}}\Rightarrow AT=2x=\dfrac{72}{4+\sqrt{97}}.

Χωρίς επιφύλαξη γιατί συμφωνώ με τον Γιώργο Βισβίκη
Συνημμένα
pio konta.png
pio konta.png (24.58 KiB) Προβλήθηκε 221 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8316
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πιο κοντά δεν γίνεται

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Απρ 06, 2019 11:35 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Απρ 05, 2019 1:00 pm
Πιο κοντά δεν γίνεται.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC είναι AB=9 και AC=4 . Σημείο S κινείται

επί της υποτείνουσας BC , έτσι ώστε η κάθετη προς την AS , στο S , να τέμνει

την πλευρά AB στο σημείο T . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος AT .
Η αρχική μου λύση ήταν πολύπλοκη, εξ ου και το παραπάνω αποτέλεσμα με τα διπλά ριζικά. Η παρούσα νομίζω

ότι είναι απλούστερη. Εύκολα βρίσκω BC=\sqrt{97}. Θέτω CS=x και φέρνω SE||AB.
Πιο κοντά δεν γίνεται.png
Πιο κοντά δεν γίνεται.png (10.77 KiB) Προβλήθηκε 173 φορές
Τα τρίγωνα AES, AST είναι όμοια, \displaystyle \frac{{AS}}{{AT}} = \frac{{SE}}{{AS}} \Leftrightarrow AT = \frac{{A{S^2}}}{{SE}} και με νόμο συνημιτόνων στο ASC:

A{S^2} = {x^2} + 16 - \dfrac{{32x}}{{\sqrt {97} }}. Εξάλλου, SE||AB \Leftrightarrow \dfrac{{SE}}{9} = \dfrac{x}{{\sqrt {97} }} \Leftrightarrow SE = \dfrac{{9x}}{{\sqrt {97} }}

Άρα, \displaystyle AT = \frac{1}{9}\left( {x\sqrt {97}  + \frac{{16\sqrt {97} }}{x} - 32} \right) = \frac{{\sqrt {97} }}{9}{\left( {\sqrt x  - \frac{4}{{\sqrt x }}} \right)^2} + \frac{8}{9}\left( {\sqrt {97}  - 4} \right) \ge \frac{8}{9}\left( {\sqrt {97}  - 4} \right),

με την ισότητα να ισχύει για x=4. Οπότε, \boxed{A{T_{\min }} = \frac{8}{9}\left( {\sqrt {97}  - 4} \right)} όταν \boxed{CS=CA=4}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες