Πιο κοντά δεν γίνεται

KARKAR · #1

: Πιο κοντά δεν γίνεται.png (7.35 KiB) Προβλήθηκε 466 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι AB=9

και

. Σημείο

κινείται

επί της υποτείνουσας

, έτσι ώστε η κάθετη προς την

, στο

, να τέμνει

την πλευρά

στο σημείο

. Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 05, 2019 1:00 pm
Πιο κοντά δεν γίνεται.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι και . Σημείο κινείται

επί της υποτείνουσας , έτσι ώστε η κάθετη προς την , στο , να τέμνει

την πλευρά στο σημείο . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος .

$\displaystyle A{T_{\min }} = 8\sqrt {\frac{{\sqrt {97} - 4}}{{\sqrt {97} + 4}}}$

Όποιος έχει κουράγιο ας το επαληθεύσει

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης και διόρθωση τυπογραφικού. Είχα ξεχάσει να πολλαπλασιάσω επί

το αποτέλεσμα. Τώρα Αλέξανδρε συμφωνούμε, αν και δεν φαίνεται αμέσως.

Altrian · #3

Καλησπέρα σε όλους.

Το τμήμα

είναι διάμετρος κύκλου που τέμνει την

και γίνεται ελάχιστος όταν εφάπτεται στην

.

Τότε έχουμε:

$u=\dfrac{4*9}{\sqrt{97}}$

$\dfrac{u}{x}=\dfrac{9}{9-x}\Rightarrow x=\dfrac{36}{4+\sqrt{97}}\Rightarrow AT=2x=\dfrac{72}{4+\sqrt{97}}$ .

Χωρίς επιφύλαξη γιατί συμφωνώ με τον Γιώργο Βισβίκη

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 05, 2019 1:00 pm
Πιο κοντά δεν γίνεται.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι και . Σημείο κινείται

επί της υποτείνουσας , έτσι ώστε η κάθετη προς την , στο , να τέμνει

την πλευρά στο σημείο . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος .

Η αρχική μου λύση ήταν πολύπλοκη, εξ ου και το παραπάνω αποτέλεσμα με τα διπλά ριζικά. Η παρούσα νομίζω

ότι είναι απλούστερη. Εύκολα βρίσκω $BC=\sqrt{97}.$ Θέτω CS=x

και φέρνω

: Πιο κοντά δεν γίνεται.png (10.77 KiB) Προβλήθηκε 363 φορές

Τα τρίγωνα AES, AST

είναι όμοια, $\displaystyle \frac{{AS}}{{AT}} = \frac{{SE}}{{AS}} \Leftrightarrow AT = \frac{{A{S^2}}}{{SE}}$ και με νόμο συνημιτόνων στο ASC:

$A{S^2} = {x^2} + 16 - \dfrac{{32x}}{{\sqrt {97} }}.$ Εξάλλου, $SE||AB \Leftrightarrow \dfrac{{SE}}{9} = \dfrac{x}{{\sqrt {97} }} \Leftrightarrow SE = \dfrac{{9x}}{{\sqrt {97} }}$

Άρα, $\displaystyle AT = \frac{1}{9}\left( {x\sqrt {97} + \frac{{16\sqrt {97} }}{x} - 32} \right) = \frac{{\sqrt {97} }}{9}{\left( {\sqrt x - \frac{4}{{\sqrt x }}} \right)^2} + \frac{8}{9}\left( {\sqrt {97} - 4} \right) \ge \frac{8}{9}\left( {\sqrt {97} - 4} \right),$

με την ισότητα να ισχύει για x=4.

Οπότε, $\boxed{A{T_{\min }} = \frac{8}{9}\left( {\sqrt {97} - 4} \right)}$ όταν $\boxed{CS=CA=4}$

Πιο κοντά δεν γίνεται

Πιο κοντά δεν γίνεται

Re: Πιο κοντά δεν γίνεται

Re: Πιο κοντά δεν γίνεται

Re: Πιο κοντά δεν γίνεται

Μέλη σε σύνδεση