Μεγάλες κατασκευές 21

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10734
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεγάλες κατασκευές 21

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Απρ 09, 2019 1:31 pm

Μεγάλες  κατασκευές  21.png
Μεγάλες κατασκευές 21.png (7.18 KiB) Προβλήθηκε 211 φορές
Κατασκευάστε ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , ώστε αν  S είναι σημείο της υποτείνουσας BC ,

τέτοιο ώστε : \widehat{BAS}=2\widehat{B} και M το μέσο της AB, να προκύψει ότι \widehat{ASM}=90^0 .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6652
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μεγάλες κατασκευές 21

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Απρ 09, 2019 8:49 pm

Μεγάλες κατασκευές 21_ok.png
Μεγάλες κατασκευές 21_ok.png (16.77 KiB) Προβλήθηκε 183 φορές
Μεγάλες κατασκευές 21_επαλήθευση.png
Μεγάλες κατασκευές 21_επαλήθευση.png (25.78 KiB) Προβλήθηκε 176 φορές

Ανάλυση

Έστω λυμένο το πρόβλημα

Προεκτείνω την BA κατά τμήμα AT = AS = z . Έστω K η προβολή του S στην AB και N το μέσο της υποτείνουσας.

Επειδή \widehat T = \widehat B οι NN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SK είναι μεσοκάθετοι των AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TB αντίστοιχα .

AK = w\,\,,\,\,KM = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,MB = x και θα ισχύουν : \left\{ \begin{gathered} 
  x = y + w \hfill \\ 
  x + y = z + w \hfill \\ 
  A{S^2} = AK \cdot AM \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  z = 2y \hfill \\ 
  w = x - y \hfill \\ 
  A{S^2} = AK \cdot AM \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  z = 2y\,\,\,\,(1) \hfill \\ 
  4{y^2} = (x - y) \cdot x\,\,\,(2) \hfill \\  
\end{gathered}  \right.
Μεγάλες κατασκευές 21_Ανάλυση.png
Μεγάλες κατασκευές 21_Ανάλυση.png (21.56 KiB) Προβλήθηκε 170 φορές
Αν θέσω \boxed{x = ky\,\,\,,\,\,\,k > 1} η (2) θα δώσει : {k^2} - k - 4 = 0 \Leftrightarrow k(k - 1) = {2^2} . Επειδή

Το 2 είναι μέσο ανάλογο του k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,k - 1 κατασκευάζεται πολύ απλά ενώ υπολογιστικά είναι \boxed{k = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}}.

Τα υπόλοιπα απλά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες