Μεγάλες κατασκευές 21

KARKAR · #1

: Μεγάλες κατασκευές 21.png (7.18 KiB) Προβλήθηκε 370 φορές

Κατασκευάστε ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , ώστε αν

είναι σημείο της υποτείνουσας

,

τέτοιο ώστε : $\widehat{BAS}=2\widehat{B}$ και

το μέσο της

, να προκύψει ότι $\widehat{ASM}=90^0$ .

#2

: Μεγάλες κατασκευές 21_ok.png (16.77 KiB) Προβλήθηκε 342 φορές

: Μεγάλες κατασκευές 21_επαλήθευση.png (25.78 KiB) Προβλήθηκε 335 φορές

Ανάλυση

Έστω λυμένο το πρόβλημα

Προεκτείνω την

κατά τμήμα AT = AS = z

. Έστω

η προβολή του

στην

και

το μέσο της υποτείνουσας.

Επειδή $\widehat T = \widehat B$ οι $NN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SK$ είναι μεσοκάθετοι των $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TB$ αντίστοιχα .

$AK = w\,\,,\,\,KM = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,MB = x$ και θα ισχύουν : $\left\{ \begin{gathered} x = y + w \hfill \\ x + y = z + w \hfill \\ A{S^2} = AK \cdot AM \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} z = 2y \hfill \\ w = x - y \hfill \\ A{S^2} = AK \cdot AM \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} z = 2y\,\,\,\,(1) \hfill \\ 4{y^2} = (x - y) \cdot x\,\,\,(2) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Μεγάλες κατασκευές 21_Ανάλυση.png (21.56 KiB) Προβλήθηκε 329 φορές

Αν θέσω $\boxed{x = ky\,\,\,,\,\,\,k > 1}$ η (2)

θα δώσει : ${k^2} - k - 4 = 0 \Leftrightarrow k(k - 1) = {2^2}$ . Επειδή

Το

είναι μέσο ανάλογο του $k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,k - 1$ κατασκευάζεται πολύ απλά ενώ υπολογιστικά είναι $\boxed{k = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}}$ .

Τα υπόλοιπα απλά.

Μεγάλες κατασκευές 21

Μεγάλες κατασκευές 21

Re: Μεγάλες κατασκευές 21

Μέλη σε σύνδεση