Νέοι ορθογώνιοι μπελάδες

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10765
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Νέοι ορθογώνιοι μπελάδες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Μάιος 31, 2019 2:02 pm

Νέοι  ορθογώνιοι  μπελάδες.png
Νέοι ορθογώνιοι μπελάδες.png (9.37 KiB) Προβλήθηκε 294 φορές
Το ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC έχει σταθερή την πλευρά b και μεταβλητή την c , c>b .

Φέρουμε το ύψος AD προς την υποτείνουσα και την μεσοκάθετο της υποτείνουσας ,

η οποία τέμνει την AB στο σημείο S .

Α) Υπολογίστε το μήκος του τμήματος DS συναρτήσει των b,c .

Β) Για ποια τιμή του λόγου \dfrac{b}{c} , προκύπτει : BD=BS ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6667
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Νέοι ορθογώνιοι μπελάδες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Μάιος 31, 2019 5:36 pm

Νέοι ορθογώνιοι μπελάδες.png
Νέοι ορθογώνιοι μπελάδες.png (21.41 KiB) Προβλήθηκε 262 φορές

Για το δεύτερο ερώτημα :lol:

\boxed{\frac{b}{c} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt[3]{2} + 1}}}

Για το πρώτο ερώτημα:

\boxed{DS = \frac{{\sqrt {{b^6} - {b^4}{c^2} + 3{b^2}{c^4} + {c^6}} }}{{2b\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}}


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 373
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Νέοι ορθογώνιοι μπελάδες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Μάιος 31, 2019 7:56 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Μάιος 31, 2019 2:02 pm
Νέοι ορθογώνιοι μπελάδες.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC έχει σταθερή την πλευρά b και μεταβλητή την c , c>b .

Φέρουμε το ύψος AD προς την υποτείνουσα και την μεσοκάθετο της υποτείνουσας ,

η οποία τέμνει την AB στο σημείο S .

Α) Υπολογίστε το μήκος του τμήματος DS συναρτήσει των b,c .

Β) Για ποια τιμή του λόγου \dfrac{b}{c} , προκύπτει : BD=BS ;
Οι πράξεις για το α:

b^2=a\cdot CD\Leftrightarrow CD=\dfrac{b^2}{\sqrt{b^2+c^2}}\Leftrightarrow DM=\dfrac{a}{2}-\dfrac{b^2}{\sqrt{b^2+c^2}}=\dfrac{c^2-b^2}{2\sqrt{b^2+c^2}}

\dfrac{MS}{MB}=\dfrac{b}{c}\Leftrightarrow MS=\dfrac{b\sqrt{b^2+c^2}}{2c}

Οπότε με πυθαγόρειο στο DMS :

DS^2=\dfrac{\left ( c^2-b^2 \right )^2}{4(b^2+c^2)}-\dfrac{b^2(b^2+c^2)}{4c^2}=\dfrac{c^6-b^4c^2+3b^2c^4+b^6}{4c^2(b^2+c^2)} \Leftrightarrow DS=\dfrac{\sqrt{c^6-b^4c^2+3b^2c^4+b^6}}{2c\sqrt{b^2+c^2})}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8322
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Νέοι ορθογώνιοι μπελάδες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιουν 01, 2019 9:04 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Μάιος 31, 2019 2:02 pm
Νέοι ορθογώνιοι μπελάδες.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC έχει σταθερή την πλευρά b και μεταβλητή την c , c>b .

Φέρουμε το ύψος AD προς την υποτείνουσα και την μεσοκάθετο της υποτείνουσας ,

η οποία τέμνει την AB στο σημείο S .

Α) Υπολογίστε το μήκος του τμήματος DS συναρτήσει των b,c .

Β) Για ποια τιμή του λόγου \dfrac{b}{c} , προκύπτει : BD=BS ;
Ορθογώνιοι Μπελάδες.K2.png
Ορθογώνιοι Μπελάδες.K2.png (15.13 KiB) Προβλήθηκε 205 φορές
Α) \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
\dfrac{a}{2} \cdot a = cBS \Leftrightarrow BS = \dfrac{{{a^2}}}{{2c}}\\ 
\\ 
{c^2} = aBD \Leftrightarrow BD = \dfrac{{{c^2}}}{a} 
\end{array} \right. και με νόμο συνημιτόνων στο BSD με \displaystyle \cos B = \frac{c}{a} είναι:

\displaystyle D{S^2} = \frac{{{a^4}}}{{4{c^2}}} + \frac{{{c^4}}}{{{a^2}}} - {c^2}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{{a^2} = {b^2} + {c^2}} \boxed{DS = \frac{{\sqrt {{b^6} + 3{b^4}{c^2} - {b^2}{c^4} + {c^6}} }}{{2c\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}}

B) \displaystyle BD = BS \Leftrightarrow \frac{{{c^2}}}{a} = \frac{{{a^2}}}{{2c}} \Leftrightarrow a = c\sqrt[3]{2} \Leftrightarrow \sqrt {{b^2} + {c^2}}  = c\sqrt[3]{2} \Leftrightarrow \boxed{\frac{b}{c} = \sqrt {\sqrt[3]{4} - 1} }


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης