Ισοϋπόλοιπο

KARKAR · #1

: Ισοϋπόλυπο.png (12.38 KiB) Προβλήθηκε 783 φορές

Ώρα για κάτι σχετικά εύκολο : Πάνω στο - πλευράς

- τετράγωνο ABCD

, τοποθετήσαμε

το ορθογώνιο AECZ

, έτσι ώστε το εμβαδόν του τμήματος του τετραγώνου που φαίνεται ,

να ισούται με το εμβαδόν του ορθογωνίου . Υπολογίστε τις διαστάσεις του ορθογωνίου .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 06, 2019 5:55 pm
Ισοϋπόλυπο.pngΏρα για κάτι σχετικά εύκολο : ...

: Τι να πω....png (12.76 KiB) Προβλήθηκε 740 φορές

Απλούστατο. Από τις εξισώσεις: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 2{a^2}\\ \\ xy = ak\\ \\ {\left( {\dfrac{{a(a - k)}}{x}} \right)^2} = {a^2} + {k^2} \end{array} \right.$ εύκολα (

) προκύπτει ότι:

$\boxed{x = a\sqrt {1 - \dfrac{1}{{\sqrt {\dfrac{3}{{4 - \dfrac{{4\sqrt[3]{4}}}{{\sqrt[3]{{3\sqrt {33} - 13}}}} + \sqrt[3]{{6\sqrt {33} - 26}}}}} }}}}$ Το

βγαίνει τώρα με απλή (

) αντικατάσταση

ΥΓ. Ακόμα και λάθος να είναι ο τύπος, ποιος έχει τα ψυχικά αποθέματα να το τσεκάρει;

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 07, 2019 8:54 am

ΥΓ. Ακόμα και λάθος να είναι ο τύπος, ποιος έχει τα ψυχικά αποθέματα να το τσεκάρει;

Γιώργο καλημέρα, κινούμενος σε παράλληλα μονοπάτια κατέληγα, πριν λίγο, σε άκρως διασκεδαστικές εξισώσεις της μορφής

: Τι να πεις;.jpg (120.78 KiB) Προβλήθηκε 727 φορές

Έλεγα: "Μπα, κάτι κάνω λάθος." Τώρα, όμως, νομίζω ότι λάθος έκανα όταν νόμιζα ότι έκανα λάθος (και τα έσβησα όλα)...

(Όπου

είναι το

με πλευρά

).

#4

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 07, 2019 9:52 am

Έλεγα: "Μπα, κάτι κάνω λάθος." Τώρα, όμως, νομίζω ότι λάθος έκανα όταν νόμιζα ότι έκανα λάθος (και τα έσβησα όλα)...

Φαίνεται ότι ο KARKAR δοκιμάζει τις αντοχές μας, εν όψει Πανελλαδικών

KARKAR · #5

Κύριοι δεν μίλησα για εύκολο ! Έγραψα σχετικά εύκολο , με το επίρρημα να ομόρριζο

με την σχετικότητα ( του Αινστάιν βεβαίως βεβαίως )

#6

Ξαναέγραψα και αναρτώ την προσεγγιστική λύση στην οποία κατέληξα. Δεν κάνω επαλήθευση, ως ένδειξη (σχετικής) διαμαρτυρίας.

: Τι να πεις (2);.jpg (76.85 KiB) Προβλήθηκε 659 φορές

Έστω

οι πλευρές του ορθογωνίου με $b \le c$ ,

οπότε $\displaystyle {b^2} + {c^2} = {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = 2{a^2}$ (1).

Έστω KB = d

.

Είναι 2(KBC) = (AECZ)

οπότε $\displaystyle 2 \cdot \frac{{ad}}{2} = bc \Leftrightarrow ad = bc$ (2).

Άρα, από (1) και (2) είναι $\displaystyle {\left( {b + c} \right)^2} = 2{a^2} + 2ad \Leftrightarrow b + c = \sqrt {2{a^2} + 2ad}$

και $\displaystyle {\left( {b - c} \right)^2} = 2{a^2} - 2ad \Leftrightarrow c - b = \sqrt {2{a^2} - 2ad}$

Είναι $\displaystyle \widehat {KAE} = \widehat {{\rm K}C{\rm B}} = \varphi$ ως συμπληρώματα ίσων γωνιών.

Τότε στο ACE

είναι $\displaystyle \varepsilon \varphi \left( {45^\circ + \varphi } \right) = \frac{c}{b} \Leftrightarrow \frac{{1 + \varepsilon \varphi \varphi }}{{1 - \varepsilon \varphi \varphi }} = \frac{c}{b}$ (3)

και στο KBC

είναι $\displaystyle \varepsilon \varphi \varphi = \frac{d}{a}$ (4).

Οπότε, από (3) και (4) είναι $\displaystyle \frac{{a + d}}{{a - d}} = \frac{c}{b} \Leftrightarrow \frac{d}{a} = \frac{{c - b}}{{b + c}}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{d}{a} = \frac{{\sqrt {2{a^2} - 2ad} }}{{\sqrt {2{a^2} + 2ad} }} \Leftrightarrow \frac{{{d^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{2{a^2} - 2ad}}{{2{a^2} + 2ad}}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{{d^2}}}{a} = \frac{{{a^2} - ad}}{{a + d}} \Leftrightarrow a{d^2} + {d^3} = {a^3} - {a^2}d$

$\displaystyle \Leftrightarrow {\left( {\frac{d}{a}} \right)^3} + {\left( {\frac{d}{a}} \right)^2} + \left( {\frac{d}{a}} \right) - 1 = 0$

Από όπου παίρνουμε ρίζα περίπου 0,54369.

Οπότε $\displaystyle d \cong 0,54369a$ , άρα $\displaystyle b + c = a\sqrt {3,08738} = 1,042775a$ και $\displaystyle bc = 0,54369{a^2}$ .

Οπότε τα b, c

είναι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle {x^2} - 1,042775a + 0,54369{a^2} = 0$ ,

δηλαδή είναι $\displaystyle b,\;c = \frac{{1,042775 \mp \sqrt {{{1,042775}^2} - 4 \cdot 0,54369} }}{2}a$ .

(Και να έχει λέει η αλεπού του κάμπου καμία γεωμετρική λύση του λεπτού, να μην έχουμε που να κρυφτούμε...)

Ισοϋπόλοιπο

Ισοϋπόλοιπο

Re: Ισοϋπόλοιπο

Re: Ισοϋπόλοιπο

Re: Ισοϋπόλοιπο

Re: Ισοϋπόλοιπο

Re: Ισοϋπόλοιπο

Μέλη σε σύνδεση