Κυκλώστε το τετράγωνο
Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος
Κυκλώστε το τετράγωνο
του τετραγώνου . Να συγκρίνετε το εμβαδόν του τετραγώνου με το εμβαδόν του λευκού χωρίου .
Λέξεις Κλειδιά:
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Κυκλώστε το τετράγωνο
Καλησπέρα σε όλους. Εύχομαι επιτυχία και καλή συνέχεια στα παιδιά που αγωνίζονται στις Πανελλαδικές.
Από μετρικές σχέσεις στον κύκλο:
ή από Θεώρημα Διαμέσων στο :
Στο από Ν. Συνημιτόνων:
,
οπότε
, οπότε .
edit: Ο Πρόδρομος είδε ότι απαντάω σε άλλο (πολύ απλούστερο ερώτημα) από αυτό του Θανάση. Τον ευχαριστώ για τη διακριτική υπόδειξη! Λόγω των υποχρεώσεων στο φάκελο των επιμελητών για τις Πανελλαδικές είναι αδύνατο να κάνω παρεμβάσεις απόψε.
Από μετρικές σχέσεις στον κύκλο:
ή από Θεώρημα Διαμέσων στο :
Στο από Ν. Συνημιτόνων:
,
οπότε
, οπότε .
edit: Ο Πρόδρομος είδε ότι απαντάω σε άλλο (πολύ απλούστερο ερώτημα) από αυτό του Θανάση. Τον ευχαριστώ για τη διακριτική υπόδειξη! Λόγω των υποχρεώσεων στο φάκελο των επιμελητών για τις Πανελλαδικές είναι αδύνατο να κάνω παρεμβάσεις απόψε.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Κυκλώστε το τετράγωνο
Καλησπέρα σε όλους. Επιχειρώ μια προσέγγιση στο πρόβλημα του Θανάση, κρατώντας επιφυλάξεις για το αποτέλεσμα.
Έστω η πλευρά του τετραγώνου.
Το κέντρο του κύκλου βρίσκεται στην τομή των μεσοκαθέτων των ,
άρα είναι και ο κύκλος έχει ακτίνα , οπότε, ο κύκλος έχει εξίσωση .
Παρατηρούμε ότι το λευκό χωρίο αποτελείται από δύο χωρία, τα , των οποίων τα εμβαδά δίνονται από τους τύπους και
Θέτουμε , οπότε .
Για και για , οπότε
.
Ομοίως βρίσκουμε και
Άρα ο λόγος του εμβαδού του λευκού χωρίου προς το εμβαδόν του τετραγώνου είναι 1,021.
Έστω η πλευρά του τετραγώνου.
Το κέντρο του κύκλου βρίσκεται στην τομή των μεσοκαθέτων των ,
άρα είναι και ο κύκλος έχει ακτίνα , οπότε, ο κύκλος έχει εξίσωση .
Παρατηρούμε ότι το λευκό χωρίο αποτελείται από δύο χωρία, τα , των οποίων τα εμβαδά δίνονται από τους τύπους και
Θέτουμε , οπότε .
Για και για , οπότε
.
Ομοίως βρίσκουμε και
Άρα ο λόγος του εμβαδού του λευκού χωρίου προς το εμβαδόν του τετραγώνου είναι 1,021.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Κυκλώστε το τετράγωνο
Καλημέρα σε όλους. Δεν θα έλεγα ότι βλέπω και φοβερή συμμετοχή στο ενδιαφέρον πρόβλημα του Θανάση...
Με την υπόδειξη και το σχήμα του Θανάση:
Έστω . Τότε, όπως δείξαμε παραπάνω .
Αφού , από Θεώρημα Διαμέσων στο :
,
οπότε .
Από Ν. Συνημιτόνων στο είναι .
Η απόσταση του από τη είναι , οπότε
Οπότε το εμβαδό του λευκού χωρίου είναι ίσο με
O λόγος του προς το είναι .
Παρατηρώ ότι το αποτέλεσμα είναι σχεδόν ίδιο με την προηγούμενη απόπειρα με τη χρήση ολοκληρώματος.
Με την υπόδειξη και το σχήμα του Θανάση:
Έστω . Τότε, όπως δείξαμε παραπάνω .
Αφού , από Θεώρημα Διαμέσων στο :
,
οπότε .
Από Ν. Συνημιτόνων στο είναι .
Η απόσταση του από τη είναι , οπότε
Οπότε το εμβαδό του λευκού χωρίου είναι ίσο με
O λόγος του προς το είναι .
Παρατηρώ ότι το αποτέλεσμα είναι σχεδόν ίδιο με την προηγούμενη απόπειρα με τη χρήση ολοκληρώματος.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Κυκλώστε το τετράγωνο
Αποφεύγουμε τις κακοτοπιές ΓιώργοΓιώργος Ρίζος έγραψε: ↑Παρ Ιουν 14, 2019 9:13 amΚαλημέρα σε όλους. Δεν θα έλεγα ότι βλέπω και φοβερή συμμετοχή στο ενδιαφέρον πρόβλημα του Θανάση...
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες