Φρίζα

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10963
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Φρίζα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιούλ 19, 2019 2:16 pm

Φρίζα.png
Φρίζα.png (9.65 KiB) Προβλήθηκε 368 φορές
Στο ορθογώνιο ABCD , η κάθετη BS από το B προς την διαγώνιοAC , τέμνει την CD στο σημείο P .

Ο κύκλος (B,BS) τέμνει την AB στο T . Αν το PTBC είναι ορθογώνιο , υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{AB}{BC}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 426
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Φρίζα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Ιούλ 19, 2019 3:19 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιούλ 19, 2019 2:16 pm
Φρίζα.pngΣτο ορθογώνιο ABCD , η κάθετη BS από το B προς την διαγώνιοAC , τέμνει την CD στο σημείο P .

Ο κύκλος (B,BS) τέμνει την AB στο T . Αν το PTBC είναι ορθογώνιο , υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{AB}{BC}
Καλό μεσημέρι

Είναι \bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup BTP\Leftrightarrow \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BC}{BT}=\dfrac{BC}{BS}\,\,(1).Όμως από τα \bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup BSC είναι \dfrac{BC}{BS}=\dfrac{AC}{AB}

Άρα από την (1) και με ύψωση στο τετράγωνο έχουμε :
\dfrac{AB^2}{BC^2}=\dfrac{AC^2}{AB^2}=\dfrac{AB^2+BC^2}{AB^2}\Leftrightarrow AB^4-AB^2BC^2-BC^4=0\overset{AB>BC}{\Leftrightarrow}AB^2=BC^2\cdot \phi \Leftrightarrow ..\,\boxed{\dfrac{AB}{BC}=\sqrt{\phi }}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8525
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Φρίζα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιούλ 19, 2019 5:26 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιούλ 19, 2019 2:16 pm
Φρίζα.pngΣτο ορθογώνιο ABCD , η κάθετη BS από το B προς την διαγώνιοAC , τέμνει την CD στο σημείο P .

Ο κύκλος (B,BS) τέμνει την AB στο T . Αν το PTBC είναι ορθογώνιο , υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{AB}{BC}
Έστω AB=CD=a, BC=AD=b.
Φρίζα.png
Φρίζα.png (13.52 KiB) Προβλήθηκε 325 φορές
Το STAP είναι εγγράψιμο, άρα \displaystyle BS \cdot BP = BT \cdot BA\mathop  \Leftrightarrow \limits^{BS = BT} BP = BA = a \Rightarrow AS = PT = b

\displaystyle A{B^2} = AS \cdot AC \Leftrightarrow {a^2} = b\sqrt {{a^2} + {b^2}}  \Leftrightarrow {a^4} - {a^2}{b^2} - {b^4} = 0 \Leftrightarrow \boxed{\frac{a}{b} = \sqrt {\frac{{\sqrt 5  + 1}}{2}}  = \sqrt \Phi  }


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1697
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Φρίζα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Ιούλ 20, 2019 11:29 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιούλ 19, 2019 2:16 pm
Φρίζα.pngΣτο ορθογώνιο ABCD , η κάθετη BS από το B προς την διαγώνιοAC , τέμνει την CD στο σημείο P .

Ο κύκλος (B,BS) τέμνει την AB στο T . Αν το PTBC είναι ορθογώνιο , υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{AB}{BC}

Επειδή \displaystyle PB = TC είναι, \displaystyle \vartriangle TBC = \vartriangle SAB \Rightarrow SA = BC = b κι έστω \displaystyle \frac{\alpha }{b} = x

\displaystyle \frac{{AS}}{{SC}} = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} \Rightarrow \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}}  - b}} = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}} = {x^2} \Leftrightarrow {x^4} - {x^2} - 1 = 0

Δεκτή λύση \displaystyle \boxed{x = \sqrt {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}  = \sqrt \varphi  }
φρίζα.png
φρίζα.png (18.52 KiB) Προβλήθηκε 274 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης