Φρίζα

KARKAR · #1

: Φρίζα.png (9.65 KiB) Προβλήθηκε 368 φορές

Στο ορθογώνιο ABCD

, η κάθετη

από το

προς την διαγώνιο

, τέμνει την

στο σημείο

.

Ο κύκλος (B,BS)

τέμνει την

στο

. Αν το

είναι ορθογώνιο , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AB}{BC}$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 19, 2019 2:16 pm
Φρίζα.pngΣτο ορθογώνιο , η κάθετη από το προς την διαγώνιο , τέμνει την στο σημείο .

Ο κύκλος τέμνει την στο . Αν το είναι ορθογώνιο , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AB}{BC}$

Καλό μεσημέρι

Είναι $\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup BTP\Leftrightarrow \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BC}{BT}=\dfrac{BC}{BS}\,\,(1)$ .Όμως από τα $\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup BSC$ είναι $\dfrac{BC}{BS}=\dfrac{AC}{AB}$

Άρα από την (1)

και με ύψωση στο τετράγωνο έχουμε :
$\dfrac{AB^2}{BC^2}=\dfrac{AC^2}{AB^2}=\dfrac{AB^2+BC^2}{AB^2}\Leftrightarrow AB^4-AB^2BC^2-BC^4=0\overset{AB>BC}{\Leftrightarrow}AB^2=BC^2\cdot \phi \Leftrightarrow ..\,\boxed{\dfrac{AB}{BC}=\sqrt{\phi }}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 19, 2019 2:16 pm
Φρίζα.pngΣτο ορθογώνιο , η κάθετη από το προς την διαγώνιο , τέμνει την στο σημείο .

Ο κύκλος τέμνει την στο . Αν το είναι ορθογώνιο , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AB}{BC}$

Έστω

: Φρίζα.png (13.52 KiB) Προβλήθηκε 325 φορές

Το

είναι εγγράψιμο, άρα $\displaystyle BS \cdot BP = BT \cdot BA\mathop \Leftrightarrow \limits^{BS = BT} BP = BA = a \Rightarrow AS = PT = b$

$\displaystyle A{B^2} = AS \cdot AC \Leftrightarrow {a^2} = b\sqrt {{a^2} + {b^2}} \Leftrightarrow {a^4} - {a^2}{b^2} - {b^4} = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{a}{b} = \sqrt {\frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}} = \sqrt \Phi }$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 19, 2019 2:16 pm
Φρίζα.pngΣτο ορθογώνιο , η κάθετη από το προς την διαγώνιο , τέμνει την στο σημείο .

Ο κύκλος τέμνει την στο . Αν το είναι ορθογώνιο , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AB}{BC}$

Επειδή $\displaystyle PB = TC$ είναι, $\displaystyle \vartriangle TBC = \vartriangle SAB \Rightarrow SA = BC = b$ κι έστω $\displaystyle \frac{\alpha }{b} = x$

$\displaystyle \frac{{AS}}{{SC}} = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} \Rightarrow \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} - b}} = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}} = {x^2} \Leftrightarrow {x^4} - {x^2} - 1 = 0$

Δεκτή λύση $\displaystyle \boxed{x = \sqrt {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} = \sqrt \varphi }$

: φρίζα.png (18.52 KiB) Προβλήθηκε 274 φορές

Φρίζα

Φρίζα

Re: Φρίζα

Re: Φρίζα

Re: Φρίζα

Μέλη σε σύνδεση