Αναμενόμενα αποτελέσματα

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3239
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Αναμενόμενα αποτελέσματα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Παρ Ιούλ 26, 2019 12:54 am

shape.jpg
shape.jpg (42.69 KiB) Προβλήθηκε 231 φορές
Στο παραπάνω σχήμα ζητείται η πλευρά AC και η διχοτόμος AD.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6622
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Αναμενόμενα αποτελέσματα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιούλ 26, 2019 2:12 am

Αναμενόμενα αποτελέσματα.png
Αναμενόμενα αποτελέσματα.png (22.06 KiB) Προβλήθηκε 218 φορές
Γράφω το κύκλο διαμέτρου BC που έχει κέντρο O. Ας είναι δε S ο νότιος πόλος .

Θέτω AD = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DS = y . Επειδή BC = x + 2\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  R = \frac{x}{2} + 1 \hfill \\ 
  OD = \frac{x}{2} \hfill \\ 
  xy = x + 1\,\,\,(1) \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Από το Π. Θ. στο \vartriangle ODS έχω y = \sqrt {{{\left( {\dfrac{x}{2} + 1} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{x}{2}} \right)}^2}} και η (1) δίδει την εξίσωση :

{x^4} + 2{x^3} - 4x - 2 = 0 με δεκτή ρίζα : \boxed{x = \frac{{\sqrt[4]{{12}} + \sqrt 3  - 1}}{2}}

Μετά από το θ συνημίτονου στο \vartriangle ADC έχω : \boxed{AC = \sqrt[3]{4}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8223
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Αναμενόμενα αποτελέσματα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιούλ 26, 2019 9:56 am

Αν AD=d τότε BD=d+1. Με Π.Θ στο ABC, θεώρημα διχοτόμων και τύπο διχοτόμου, βρίσκω τις εξισώσεις:
Αναμενόμενα (;) αποτελέσματα.png
Αναμενόμενα (;) αποτελέσματα.png (12.77 KiB) Προβλήθηκε 177 φορές
\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
{(d + 2)^2} = {b^2} + {c^2}\\ 
\\ 
d + 1 = \dfrac{c}{b} \Leftrightarrow c = b(d + 1)\\ 
\\ 
{d^2} = bc - (d + 1) \Leftrightarrow c = \dfrac{{{d^2} + d + 1}}{b} 
\end{array} \right. Από τις δύο τελευταίες εξισώσεις κάνω απαλοιφή του c και έχω:

\boxed{{b^2} = \frac{{{d^2} + d + 1}}{{d + 1}}}} και \boxed{{c^2} = (d + 1)({d^2} + d + 1)}} Αντικαθιστώντας τώρα στην πρώτη καταλήγω στην εξίσωση,

\displaystyle {d^4} + 2{d^3} - 4d - 2 = 0, απ',όπου παίρνω τη δεκτή ρίζα \boxed{d = \frac{{\sqrt[4]{{12}} + \sqrt 3  - 1}}{2}} και \displaystyle {b^2} = \sqrt 3  \Leftrightarrow \boxed{b = \sqrt[4]{3}}


Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 79
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Αναμενόμενα αποτελέσματα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Παρ Ιούλ 26, 2019 10:27 am

Καλημέρα!
Θέτω AD=x, οπότε BD=x+1.
Με θεώρημα διχοτόμου στο τρίγωνο ABC έχουμε \dfrac{x+1}{1}=\dfrac{AB}{AC}\Leftrightarrow AB=AC\left ( x+1 \right )
Είναι \cos\widehat{B}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AC(x+1)}{x+2}. Ακόμη \cos\widehat{B}=sin\widehat{C}=\dfrac{\sqrt{2}x}{2}, οπότε πέρνουμε \dfrac{AC(x+1)}{x+2}=\dfrac{\sqrt{2}x}{2}\Leftrightarrow AC=\dfrac{\sqrt{2}x\left ( x+2 \right )}{x\left ( x+1 \right )}\,\,\,(1)
Με Πυθαγόρειο στο τρίγωνο ABC έχουμε AC^{2}=\left ( x+2 \right )^{2}-\left \left ( A \right )( x+1 \right )^{2}\Leftrightarrow AC^{2}\left ( 1+\left ( x+1 \right )^{2} \right )=\left( x+2 \right )^{2} \Leftrightarrow AC=\left ( x+2 \right ) /\sqrt{\left (x+2 \right )^{2}+1} \,\,\,\,(2)
Εξισώνοντας τις (1) και (2) πέρνουμε AD=x=\dfrac{\sqrt[4]{12}+\sqrt{3}-1}{2} οπότε AC=\sqrt[4]{3}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης