Επιλυση Εξισωσης
Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος
-
- Δημοσιεύσεις: 360
- Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm
Re: Επιλυση Εξισωσης
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
Θέτω στην εξίσωση όπου . Ισοδυνάμως έχουμε: , με .
Θεωρώ την συνάρτηση , παραγωγίσιμη με ,
όπου , επίσης παραγωγίσιμη με .
Είναι ,άρα g: γνησίως φθίνουσα στο , οπότε
.
Αυτό ισχύει επειδή αφού εύκολα προκύπτει εφαρμόζοντας
κανόνα de l' Hospital ότι
Επίσης ,άρα g: γνησίως αύξουσα στο , οπότε
.
Αυτό ισχύει επειδή .
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι και ότι μόνο στο διάστημα ,
υπάρχει μοναδική ρίζα της , επειδή : 1-1 , αφού είναι γνησίως αύξουσα στο .
Επιπλέον έχουμε και .
Άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano για την στο κλειστό .
Συνεπώς η παραπάνω ρίζα .
Επομένως προκύπτουν :
γνησίως φθίνουσα στο και
γνησίως αύξουσα στο .
Τα παραπάνω ισχύουν επειδή
, αφού ,
και
.
Τελικώς έχουμε :
και
.
Το συνεπώς υπάρχουν ακριβώς δύο ρίζες της αρχικής εξίσωσης.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Επιλυση Εξισωσης
για
η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται.
Θέτοντας
έχουμε
Αρα η συνάρτηση είναι κυρτή.
Ετσι η έχει το πολύ δύο ρίζες.
Αλλά
Ετσι από Bolzano εχει τουλάχιστον δύο ρίζες.
Άρα για έχει ακριβώς δύο ρίζες.
Η προφανως δεν είναι ρίζα.
Για αν η εξίσωση έχει ρίζα θα πρέπει ο να είναι ρητός (γιατί;)
Αφήνω στον αναγνώστη να δείξει ότι για η εξίσωση δεν έχει λύση.
(στοιχειώδης θεωρία αριθμών)
η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται.
Θέτοντας
έχουμε
Αρα η συνάρτηση είναι κυρτή.
Ετσι η έχει το πολύ δύο ρίζες.
Αλλά
Ετσι από Bolzano εχει τουλάχιστον δύο ρίζες.
Άρα για έχει ακριβώς δύο ρίζες.
Η προφανως δεν είναι ρίζα.
Για αν η εξίσωση έχει ρίζα θα πρέπει ο να είναι ρητός (γιατί;)
Αφήνω στον αναγνώστη να δείξει ότι για η εξίσωση δεν έχει λύση.
(στοιχειώδης θεωρία αριθμών)
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες