"Μεγάλο" μέγιστο

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10765
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

"Μεγάλο" μέγιστο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Σεπ 13, 2019 8:18 pm

_Μεγάλο_  μέγιστο.png
_Μεγάλο_ μέγιστο.png (8.35 KiB) Προβλήθηκε 226 φορές
Η κάθετη πλευρά AC=b , του ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC είναι σταθερή , αντίθετα με την AB ,

η οποία μεταβάλλεται και την οποία προεκτείνω κατά ίσο τμήμα BT . Από το ίχνος του ύψους AD

φέρω DS \perp CT . Ζητάμε τη μέγιστη τιμή του τμήματος DS .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6667
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: "Μεγάλο" μέγιστο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Σεπ 13, 2019 11:33 pm

Το DS μεγιστοποιείται όταν \boxed{AB = \frac{{AC\sqrt {\sqrt {33}  - 1} }}{4}} και γίνεται

\boxed{D{S_{\max }} = AC\sqrt {\frac{{23}}{{24}} - \frac{{11\sqrt {33} }}{{72}}} }
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Σάβ Σεπ 14, 2019 1:20 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 115
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: "Μεγάλο" μέγιστο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Σάβ Σεπ 14, 2019 12:04 am

megalomegisto.png
megalomegisto.png (58.81 KiB) Προβλήθηκε 175 φορές

Καλησπέρα. Γράφω την σκέψη μου.Απο το παραπάνω σχήμα φέρνω \displaystyle TH \perp BC . Eτσι έχουμε \displaystyle \angle B_{1} = B_{2} \wedge \angle THB = \angle BDA = 90^0 \wedge BT = BA  \Rightarrow \triangle THB = \triangle BDA \Rightarrow TH = AD

\displaystyle (TDC) = \frac{1}{2}DCTH = \frac{1}{2} DCAD = \frac{1}{2} DC \sqrt{BDDC} και

\displaystyle (TDC) = \frac{1}{2} DSTC  \Rightarrow DS = \frac{2(TDC)}{TC} = \frac{DC\sqrt{BDDC}}{TC}. Θέτω \displaystyle AB = x  ,  x > 0 τότε

\displaystyle x^2 = BDBC , TC = \sqrt{4x^2+b^2} , BC = \sqrt{x^2+b^2} , b^2 = DCBC αρα το DS θα είναι ίσο με :

\displaystyle DS = \frac{b^2\sqrt{\frac{x^2b^2}{BC^2}}}{BC\sqrt{4x^2+b^2}} =  \frac{b^3 x}{BC^2\sqrt{4x^2+b^2}} = \frac{b^3 x}{(x^2+b^2)\sqrt{4x^2+b^2}}  \Rightarrow  DS_{max} = 0.284063 b .

To μέγιστο το υπολόγισα με το wolfram και είναι ιδιο με του κ.Νίκου πάνω
τελευταία επεξεργασία από angvl σε Σάβ Σεπ 14, 2019 1:09 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Καλό Καλοκαίρι!
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8322
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: "Μεγάλο" μέγιστο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Σεπ 14, 2019 10:43 am

Καταλήγω διαφορετικά, στον ίδιο τύπο (angvl) για το DS. Φέρνω CH\bot BT.
Μεγάλο μέγιστο.Κ..png
Μεγάλο μέγιστο.Κ..png (10.88 KiB) Προβλήθηκε 107 φορές
\displaystyle \frac{{CH}}{x} = \sin \theta  = \frac{b}{{\sqrt {{b^2} + 4{x^2}} }} \Leftrightarrow \boxed{CH = \frac{{bx}}{{\sqrt {{b^2} + 4{x^2}} }}} (1)

\displaystyle \frac{{DS}}{{CH}} = \frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{{b^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + {x^2}}}\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} \boxed{DS = \frac{{{b^3}x}}{{({b^2} + {x^2})\sqrt {{b^2} + 4{x^2}} }}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες