Παράξενα τμήματα

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10855
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Παράξενα τμήματα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Οκτ 04, 2019 7:11 pm

Παράξενα  τμήματα.png
Παράξενα τμήματα.png (8.15 KiB) Προβλήθηκε 226 φορές
Στην - μήκους 4 - πλευρά BC , τετραγώνου ABCD , θεωρούμε σημείο K , ώστε KC=1

και γράφουμε τον κύκλο (K,KC) . Από το A φέρουμε εφαπτομένη AP στον κύκλο , η οποία

τέμνει την προέκταση της DC στο σημείο S . Υπολογίστε τα μήκη των τμημάτων : AP και PS .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11477
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παράξενα τμήματα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Οκτ 04, 2019 9:03 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Οκτ 04, 2019 7:11 pm
Στην - μήκους 4 - πλευρά BC , τετραγώνου ABCD , θεωρούμε σημείο K , ώστε KC=1

και γράφουμε τον κύκλο (K,KC) . Από το A φέρουμε εφαπτομένη AP στον κύκλο , η οποία

τέμνει την προέκταση της DC στο σημείο S . Υπολογίστε τα μήκη των τμημάτων : AP και PS .
Με αρχή των αξόνων το A η ζητούμενη ευθεία είναι της μορφής y=ax. Τα δεδομένα του προβλήματος δίνουν ότι η απόσταση του K(3,4) από την ευθεία είναι 1. Άρα

\displaystyle{ \dfrac {|3a-4|}{\sqrt {a^2+1}} = 1 που λύνοντας θα βρούμε \displaystyle{a= \frac {4}{5} \pm \frac {2}{15} \sqrt 6}.

Τα υπόλοιπα είναι απλές αλλά επίπονες πράξεις ρουτίνας που δεν αξίζουν τον κόπο της πληκτρολόγησης. Ας προσθέσω μόνο ότι γλιτώνουμε κόπο αν παρατηρήσουμε ότι PS=SC, που είναι απλό να βρεθεί από την τομή της παραπάνω ευθείας με την y=4.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8415
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παράξενα τμήματα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Οκτ 05, 2019 10:32 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Οκτ 04, 2019 7:11 pm
Παράξενα τμήματα.pngΣτην - μήκους 4 - πλευρά BC , τετραγώνου ABCD , θεωρούμε σημείο K , ώστε KC=1

και γράφουμε τον κύκλο (K,KC) . Από το A φέρουμε εφαπτομένη AP στον κύκλο , η οποία

τέμνει την προέκταση της DC στο σημείο S . Υπολογίστε τα μήκη των τμημάτων : AP και PS .
Έστω AP=y, PS=x.
Παράξενα τμήματα.png
Παράξενα τμήματα.png (13.93 KiB) Προβλήθηκε 155 φορές
Με Πυθαγόρειο βρίσκω πρώτα AK=5 και στη συνέχεια \boxed{y=2\sqrt 6}

Με Π.Θ στο ADS, \displaystyle {(x + 2\sqrt 6 )^2} = {(x + 4)^2} + 16 \Leftrightarrow \boxed{x=2+\sqrt 6}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8415
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παράξενα τμήματα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Οκτ 05, 2019 1:47 pm

Άλλη διατύπωση: Στην - μήκους 4 - πλευρά BC , τετραγώνου ABCD , θεωρούμε σημείο K , ώστε KC=r και γράφουμε

τον κύκλο (K,KC) . Από το A φέρουμε εφαπτομένη AP στον κύκλο , η οποία τέμνει την προέκταση της DC στο σημείο S .

Αν AP=2a, PS=2+a, υπολογίστε το a, τα μήκη των τμημάτων AP,PS και την ακτίνα r του κύκλου.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Ratio και 4 επισκέπτες