Ώρα για ότι θέλετε

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10875
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα για ότι θέλετε

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Οκτ 16, 2019 1:18 pm

Ώρα  για  ότι θέλετε.png
Ώρα για ότι θέλετε.png (16.18 KiB) Προβλήθηκε 224 φορές
Ο έγκυκλος (K) του ισοσκελούς τριγώνου \displaystyle ABC , (AB=AC) διέρχεται από το κέντρο O

του περικύκλου του . Βρείτε έναν τριγωνομετρικό αριθμό της γωνίας \hat{B} , ( όποιον θέλετε ) ;)



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8434
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα για ότι θέλετε

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Οκτ 16, 2019 4:09 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Οκτ 16, 2019 1:18 pm
Ώρα για ότι θέλετε.pngΟ έγκυκλος (K) του ισοσκελούς τριγώνου \displaystyle ABC , (AB=AC) διέρχεται από το κέντρο O

του περικύκλου του . Βρείτε έναν τριγωνομετρικό αριθμό της γωνίας \hat{B} , ( όποιον θέλετε ) ;)
Ό,τι νάναι.png
Ό,τι νάναι.png (12.71 KiB) Προβλήθηκε 190 φορές
\displaystyle {R^2} - 2Rr = O{K^2} = {r^2} \Leftrightarrow \boxed{R=r(1+\sqrt 2)} (1)

\displaystyle \frac{1}{2}a \cdot (R + 2r) = (ABC) = \frac{{a + 2b}}{2} \cdot r\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} a(\sqrt 2  + 3) = a + 2b \Leftrightarrow \frac{a}{{2b}} = \frac{1}{{\sqrt 2  + 2}} \Leftrightarrow \boxed{ \cos B = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{2}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6738
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα για ότι θέλετε

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Οκτ 17, 2019 12:36 am

Ας είναι H το σημείο τομής της AD με το κύκλο (O,a) και E το σημείο επαφής της AB με το κύκλο (K,b).

Θέτω HD = x \Rightarrow \boxed{x = a - 2b}\,\,(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BH = y \Rightarrow \boxed{{y^2} = 2ax = 2a(a - 2b)}\,\,(2)

Επειδή το τετράπλευρο KEBD είναι εγγράψιμο θα ισχύει :

\widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{\theta _{}}} \Rightarrow \boxed{\cos \omega  = \cos \theta  = \frac{b}{{a + b}} = \frac{1}{{t + 1}}}\,\,(3). Όπου \boxed{a = tb}

Αλλά BH//EK και άρα :
Ωρα για ότι θέλετε.png
Ωρα για ότι θέλετε.png (20.48 KiB) Προβλήθηκε 130 φορές
\dfrac{{EK}}{{BH}} = \dfrac{{AK}}{{AH}} \Rightarrow \dfrac{b}{y} = \dfrac{{a + b}}{{2a}} \Rightarrow 2ab = y(a + b) \Rightarrow 4{a^2}{b^2} = {y^2}{(a + b)^2} που λόγω της (2)

Δίδει: 4{a^2}{b^2} = 2a(a - 2b){(a + b)^2} \Rightarrow 2a{b^2} = (a - 2b){(a + b)^2} .

Η τελευταία δίδει : {a^3} - 5a{b^2} - 2{b^3} = 0 (ομογενής) . Αφού όμως: a = tb και b > 0

θα προκύψει

{t^3} - 5t - 2 = 0 που εύκολα με το γνωστό σχήμα δίδει : (t + 2)({t^2} - 2t - 1) = 0 που έχει μοναδική δεκτή ρίζα :

\boxed{t = 1 + \sqrt 2 } . Άρα \boxed{\cos \omega  = \frac{1}{{1 + 1 + \sqrt 2 }} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{2}}

Βεβαίως από τη σχέση του Eulerπου δίδει την απόσταση του περικέντρου από το έγκεντρο, η (3) μας δίδει άμεσα το αποτέλεσμα


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες