Απλή ανισότητα

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1428
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Απλή ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Κυρ Οκτ 20, 2019 5:43 pm

Να αποδειχθεί ότι
\sqrt{x}sinx+lnxcosx\leq \sqrt{x+(lnx)^{2}} , για κάθε x>0


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6172
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Απλή ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Δευ Οκτ 21, 2019 11:00 am

Γεια σου Γιώργη!

Δεν ξέρω γιατί τοποθέτησες την ανισότητα αυτή στο φάκελο των Διασκεδαστικών Μαθηματικών. Πάντως είναι άμεση εφαρμογή της ανισότητα Cauchy-Schwarz.


Μάγκος Θάνος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2640
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Απλή ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Οκτ 22, 2019 12:56 pm

matha έγραψε:
Δευ Οκτ 21, 2019 11:00 am
Γεια σου Γιώργη!

Δεν ξέρω γιατί τοποθέτησες την ανισότητα αυτή στο φάκελο των Διασκεδαστικών Μαθηματικών. Πάντως είναι άμεση εφαρμογή της ανισότητα Cauchy-Schwarz.
Εγω νομίζω ότι επειδή η ενασχόληση με τα Μαθηματικά είναι διασκέδαση για κάποιους πολλές
ασκήσεις μπαίνουν στα Διασκεδαστικά Μαθηματικά.
Υπάρχει πρόβλημα πάντως γιατί έτσι τι νόημα έχει η ύπαρξη φακέλων;
matha έγραψε:
Δευ Οκτ 21, 2019 11:00 am
Πάντως είναι άμεση εφαρμογή της ανισότητα Cauchy-Schwarz.
Θάνο θεωρείς ότι η απάντηση σου δεν έρχεται σε αντίθεση με το παρακάτω σημείο του κανονισμού ,
η σου ξέφυγε;


Οι απαντήσεις πρέπει να είναι κατά τα δυνατόν πλήρεις να αποφεύγονται οι υποδείξεις και η παράθεση μόνο του αποτελέσματος. Απαντήσεις που έχουν ελλιπή στοιχεία, δίνουν το αποτέλεσμα, περιλαμβάνουν σχόλια για την άσκηση, ενημερωτικές πληροφορίες κτλ χωρίς να παραθέτουν ή να παραπέμπουν στην λύση δημιουργούν σύγχυση και ενδεχομένως αποτρέπουν άλλα μέλη να προσπαθήσουν μία λύση ή να παρουσιάσουν μία λύση που ήδη έχουν ετοιμάσει. Για τους λόγους αυτούς οι τυχόν σχολιασμοί των ασκήσεων καλόν είναι να μπαίνουν αφού δοθεί λύση.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2640
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Απλή ανισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Οκτ 22, 2019 1:09 pm

exdx έγραψε:
Κυρ Οκτ 20, 2019 5:43 pm
Να αποδειχθεί ότι
\sqrt{x}sinx+lnxcosx\leq \sqrt{x+(lnx)^{2}} , για κάθε x>0
Κάνοντας πράξεις μπορεί να δειχθεί ότι για a_{i},b_{i}\in \mathbb{R}
είναι
(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^{2}+(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2})^{2}=(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})

θετοντας

a_{1}=\sqrt{x},a_{2}=\ln x,b_{1}=\sin x,b_{2}=\cos x

στην παραπάνω διώχνοντας τον πρώτο όρο και παίρνοντας ρίζες προκύπτει ότι

|\sqrt{x}sinx+lnxcosx |\leq \sqrt{x+(lnx)^{2}}

από την οποία τετριμμένα προκύπτει η ζητούμενη


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1428
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Απλή ανισότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τρί Οκτ 22, 2019 1:40 pm

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις
Να σχολιάσω την επιλογή του φακέλου :
Θεωρώ ότι η ανισότητα είναι διασκεδαστική αφού έχει μια κομψή όψη και συγχρόνως
περιλαμβάνει μερικές από τις πιο σημαντικές συναρτήσεις του Λυκείου .
Ακόμα , για την απόδειξή της , μπορούμε να αποφύγουμε την επίκληση της C-S ανισότητας
ή την απόδειξή της , στηριζόμενοι στα διανύσματα της Β΄Λυκείου .

Θεωρούμε τα \vec{a}=(sinx,cosx),\vec{b}=(\sqrt{x},lnx)
και την   \left | \vec{a\vec{b}} \right |\leq \left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right | , που αποδεικνύεται πολύ απλά .


Kαλαθάκης Γιώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες