Απλή ανισότητα

#1

Να αποδειχθεί ότι
$\sqrt{x}sinx+lnxcosx\leq \sqrt{x+(lnx)^{2}}$ , για κάθε x>0

#2

Γεια σου Γιώργη!

Δεν ξέρω γιατί τοποθέτησες την ανισότητα αυτή στο φάκελο των Διασκεδαστικών Μαθηματικών. Πάντως είναι άμεση εφαρμογή της ανισότητα Cauchy-Schwarz.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

matha έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 21, 2019 11:00 am
Γεια σου Γιώργη!

Δεν ξέρω γιατί τοποθέτησες την ανισότητα αυτή στο φάκελο των Διασκεδαστικών Μαθηματικών. Πάντως είναι άμεση εφαρμογή της ανισότητα Cauchy-Schwarz.

Εγω νομίζω ότι επειδή η ενασχόληση με τα Μαθηματικά είναι διασκέδαση για κάποιους πολλές
ασκήσεις μπαίνουν στα Διασκεδαστικά Μαθηματικά.
Υπάρχει πρόβλημα πάντως γιατί έτσι τι νόημα έχει η ύπαρξη φακέλων;

matha έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 21, 2019 11:00 am
Πάντως είναι άμεση εφαρμογή της ανισότητα Cauchy-Schwarz.

Θάνο θεωρείς ότι η απάντηση σου δεν έρχεται σε αντίθεση με το παρακάτω σημείο του κανονισμού ,
η σου ξέφυγε;

Οι απαντήσεις πρέπει να είναι κατά τα δυνατόν πλήρεις να αποφεύγονται οι υποδείξεις και η παράθεση μόνο του αποτελέσματος. Απαντήσεις που έχουν ελλιπή στοιχεία, δίνουν το αποτέλεσμα, περιλαμβάνουν σχόλια για την άσκηση, ενημερωτικές πληροφορίες κτλ χωρίς να παραθέτουν ή να παραπέμπουν στην λύση δημιουργούν σύγχυση και ενδεχομένως αποτρέπουν άλλα μέλη να προσπαθήσουν μία λύση ή να παρουσιάσουν μία λύση που ήδη έχουν ετοιμάσει. Για τους λόγους αυτούς οι τυχόν σχολιασμοί των ασκήσεων καλόν είναι να μπαίνουν αφού δοθεί λύση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

exdx έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 20, 2019 5:43 pm
Να αποδειχθεί ότι
$\sqrt{x}sinx+lnxcosx\leq \sqrt{x+(lnx)^{2}}$ , για κάθε

Κάνοντας πράξεις μπορεί να δειχθεί ότι για $a_{i},b_{i}\in \mathbb{R}$
είναι
$(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^{2}+(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2})^{2}=(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})$

θετοντας

$a_{1}=\sqrt{x},a_{2}=\ln x,b_{1}=\sin x,b_{2}=\cos x$

στην παραπάνω διώχνοντας τον πρώτο όρο και παίρνοντας ρίζες προκύπτει ότι

$|\sqrt{x}sinx+lnxcosx |\leq \sqrt{x+(lnx)^{2}}$

από την οποία τετριμμένα προκύπτει η ζητούμενη

#5

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις
Να σχολιάσω την επιλογή του φακέλου :
Θεωρώ ότι η ανισότητα είναι διασκεδαστική αφού έχει μια κομψή όψη και συγχρόνως
περιλαμβάνει μερικές από τις πιο σημαντικές συναρτήσεις του Λυκείου .
Ακόμα , για την απόδειξή της , μπορούμε να αποφύγουμε την επίκληση της C-S ανισότητας
ή την απόδειξή της , στηριζόμενοι στα διανύσματα της Β΄Λυκείου .

Θεωρούμε τα $\vec{a}=(sinx,cosx),\vec{b}=(\sqrt{x},lnx)$
και την $\left | \vec{a\vec{b}} \right |\leq \left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right |$ , που αποδεικνύεται πολύ απλά .

Απλή ανισότητα

Απλή ανισότητα

Re: Απλή ανισότητα

Re: Απλή ανισότητα

Re: Απλή ανισότητα

Re: Απλή ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση