Μικρό πι

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10878
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μικρό πι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Οκτ 20, 2019 7:19 pm

Δείξτε - με κάποιον σοβαροφανή τρόπο - ότι : \dfrac{\pi}{2}<\dfrac{e}{e-1}



Λέξεις Κλειδιά:
kfd
Δημοσιεύσεις: 96
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 05, 2014 9:04 pm

Re: Μικρό πι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kfd » Κυρ Οκτ 20, 2019 8:10 pm

Αρκεί \displaystyle{\frac{2}{\pi }+\frac{1}{e}>1}.Ισχύουν:\displaystyle{\pi <3,15\Rightarrow \frac{2}{\pi }>\frac{2}{3,15}} και \displaystyle{e<2,72\Rightarrow \frac{1}{e}>\frac{1}{2,72}}.Ισχύουν \displaystyle{\frac{2}{3,15}=0,\overline{634920}} και \displaystyle{\frac{1}{2,72}=0,36\overline{7647058823529411}} με άθροισμα μεγαλύτερο του 1.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8249
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Μικρό πι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Οκτ 21, 2019 10:58 am

kfd έγραψε:
Κυρ Οκτ 20, 2019 8:10 pm
Αρκεί \displaystyle{\frac{2}{\pi }+\frac{1}{e}>1}.

Από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ έχουμε \displaystyle \frac{2}{\pi }+\frac{1}{e} = \frac{1}{\pi }+\frac{1}{\pi }+\frac{1}{e} \geqslant \frac{3}{\sqrt[3]{\pi^2 e}}

Οπότε αρκεί να δείξουμε ότι \pi^2 e  < 27. Γράφουμε \pi = 3+x και e = 3-y. Έχουμε:

\displaystyle  \pi^2 e = (3+x)(3+x)(3-y) < 27 + 18x - 9y + 3x^2 - 6xy

οπότε αρκεί να δείξουμε ότι 2xy + 3y > 6x + x^2.

Γράφουμε τώρα y = 2x-z και αρκεί να δείξουμε ότι 4x^2 - 2xz + 6x - 3z > 6x + x^2 ή ισοδύναμα x^2 > 3z + 2xz.

Έχουμε 0.141 < x < 0.142 και 0.281 < y < 0.282 άρα 0 < z < 0.003. Τότε όμως είναι x^2 > 0.14^2 = 0.0196 ενώ 3z + 2xz < 0.009 + 0.006 \cdot 0.15 = 0.0099 < 0.0196.

Άρα το ζητούμενο αποδείχθηκε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες