Κατάλληλος φυσικός

KARKAR · #1

: Κατάλληλος φυσικός.png (27.58 KiB) Προβλήθηκε 470 φορές

Βρείτε τον φυσικό αριθμό

, για τον οποίο είναι : $\dfrac{n}{n+1}<\displaystyle \int_{0}^{1}e^{-x^2}dx}<\dfrac{n+2}{n+3}$

kfd · #2

Ολοκληρώνοντας την ανισότητα $\displaystyle{e^{-x^{2}}\geq -x^{2}+1,x\epsilon \left [ 0 ,1]}$ έχουμε ότι $\displaystyle{\int_{0}^{1}e^{-x^{2}}>\frac{2}{3}}$ , οπότε αρκεί το ολοκλήρωμα να είναι μικρότερο του $\displaystyle{\frac{4}{5}}$ . Ισχύει $\displaystyle{e^{-x^{2}}\leq \frac{1}{x^{2}+1},x=tanu,x^{2}+1=\frac{1}{cos^{2}u},dx=\frac{du}{cos^{2}u}}$ , άρα $\displaystyle{\int_{0}^{1}e^{-x^{2}}dx< \int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{2}+1}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}du=\frac{\pi }{4}}$ .Είναι όμως $\displaystyle{\frac{\pi }{4}< \frac{4}{5}}$ .Άρα ισχύει για $\displaystyle{n=2}$ .

Κατάλληλος φυσικός

Κατάλληλος φυσικός

Re: Κατάλληλος φυσικός

Μέλη σε σύνδεση