Διαγωνιστικός κύκλος

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10948
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Διαγωνιστικός κύκλος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Οκτ 29, 2019 6:31 pm

Διαγωνιστικός  κύκλος.png
Διαγωνιστικός κύκλος.png (10.75 KiB) Προβλήθηκε 389 φορές
Η Επιτροπή Διαγωνισμού σας δίνει ένα χαρτί στο οποίο είναι σχεδιασμένα - με μαύρο - το τεταρτοκύκλιο

και το ημικύκλιο . Ο διαγωνιζόμενος ( εσείς ) πρέπει να σχεδιάσει τον πολυεφαπτόμενο κόκκινο κύκλο .

Υπάρχουν πολλές διαφορετικές προσεγγίσεις . Η Επιτροπή Δ. θα βραβεύσει την πιο "γουστόζικη" :?



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8511
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διαγωνιστικός κύκλος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Οκτ 29, 2019 7:02 pm

Χωρίς λόγια!
Δ. Κύκλος.png
Δ. Κύκλος.png (15.28 KiB) Προβλήθηκε 378 φορές


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 424
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Διαγωνιστικός κύκλος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Οκτ 29, 2019 7:08 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Οκτ 29, 2019 6:31 pm
Διαγωνιστικός κύκλος.pngΗ Επιτροπή Διαγωνισμού σας δίνει ένα χαρτί στο οποίο είναι σχεδιασμένα - με μαύρο - το τεταρτοκύκλιο

και το ημικύκλιο . Ο διαγωνιζόμενος ( εσείς ) πρέπει να σχεδιάσει τον πολυεφαπτόμενο κόκκινο κύκλο .

Υπάρχουν πολλές διαφορετικές προσεγγίσεις . Η Επιτροπή Δ. θα βραβεύσει την πιο "γουστόζικη" :?
154.PNG
154.PNG (29.88 KiB) Προβλήθηκε 374 φορές
Έστω L,N τα αντιδιαμετρικά των  A,B , η εφαπτομένη από το L στο πράσινο ημικύκλιο τέμνει τον μπλε κύκλο στο P .Έστω F μέσο του τόξου LP (του μεγάλου) και ότι η FT τέμνει τον μπλε κύκλο στο Z.Αν LZ\cap BO\equiv D τότε ο ζητούμενο κύκλος είναι ο (D,Z,T).
Εξήγηση:

Επειδή DZAO εγγράψιμο το L ανήκει στον ριζικό άξονα των μικρών κύκλων και έτσι το T ανήκει στον ζητούμενο κύκλου.Επειδή ο κόκκινο κύκλος εφάπτεται της LP θα πρέπει η ευθεία που ενώνει το σημείο επαφής του με τον μεγάλο κύκλο και το T να διέρχεται από το μέσο του τόξου  LP(το F ).Αφού προσδιορίστηκε το σημείο Z και ο κόκκινο κύκλος θα εφάπτεται της BO και L μέσο του τόξου NB ,το D είναι το τρίτο σημείο.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1693
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Διαγωνιστικός κύκλος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Οκτ 30, 2019 12:20 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Οκτ 29, 2019 6:31 pm
Διαγωνιστικός κύκλος.pngΗ Επιτροπή Διαγωνισμού σας δίνει ένα χαρτί στο οποίο είναι σχεδιασμένα - με μαύρο - το τεταρτοκύκλιο

και το ημικύκλιο . Ο διαγωνιζόμενος ( εσείς ) πρέπει να σχεδιάσει τον πολυεφαπτόμενο κόκκινο κύκλο .

Υπάρχουν πολλές διαφορετικές προσεγγίσεις . Η Επιτροπή Δ. θα βραβεύσει την πιο "γουστόζικη" :?

Ο κύκλος \big(L, \dfrac{3R}{2} \big) τέμνει την OB στο S.Με K μέσον του SL η  r= \dfrac{R}{4}= KC \bot OB είναι η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου
Διαγωνιστικός κύκλος.png
Διαγωνιστικός κύκλος.png (14.72 KiB) Προβλήθηκε 337 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6784
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διαγωνιστικός κύκλος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Οκτ 30, 2019 3:36 am

To Geogebra και όλα τα παρεμφερή λογισμικά έχουν ενσωματώσει στα εργαλεία τους , αυτό της αντιστροφής.
Διαγωνιστικός Κύκλος_Με αντιστροφή.png
Διαγωνιστικός Κύκλος_Με αντιστροφή.png (22.52 KiB) Προβλήθηκε 324 φορές


Έστω N το μέσο του ημικυκλίου . ο κύκλος : \left( {O,ON} \right) τέμνει την OB στο P.

Έστω τώρα g η κοινή εφαπτομένη στο A.

Αντιστρέφω την ευθεία g με πόλο το P και δύναμη αντιστροφής {\lambda ^2} = O{P^2} κι έχω το κύκλο που ζητώ

Αλλά επειδή πρέπει ο μαθητής με τα γεωμετρικά του όργανα να κατασκευάσει αυτό τον κύκλο δίνω προσαρμοσμένη την κατασκευή αυτή
Διαγωνιστικός κύκλος_κατασκευή_1.png
Διαγωνιστικός κύκλος_κατασκευή_1.png (19.66 KiB) Προβλήθηκε 324 φορές

Αν βρούμε το κέντρο K το πρόβλημα λύθηκε . Ας είναι M το μέσο του OA.

Γράφω ομόκεντρο τεταρτοκύκλιο που διέρχεται από το μέσο N του ημικυκλίου .

Αυτό το νέο τεταρτοκύκλιο τέμνει την OB στο P, ενώ η από το P παράλληλη στην

OA τέμνει την MN στο T Το μέσο του PT είναι το κέντρο του κύκλου που θέλω.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6784
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διαγωνιστικός κύκλος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Οκτ 30, 2019 10:51 am

Έστω N το μέσο του ημικυκλίου . Πάνω στην κοινή εφαπτομένη, ευθεία g, στο A

Θεωρώ σημείο L τέτοιο ώστε: AL = AN = d .

Ο κύκλος \left( {L,d} \right) τέμνει το τεταρτοκύκλιο στο σημείο T και το ημικύκλιο στο σημείο P.

Αν S η προβολή του L στην OB , τότε ο κύκλος : \left( {P,S,T} \right) είναι ο ζητούμενος.

Δείτε ακόμα ότι τα σημεία: A,P,S, ανήκουν στην ίδια ευθεία .
Διαγωνιστικός κύκλος_κατασκευή_2.png
Διαγωνιστικός κύκλος_κατασκευή_2.png (19 KiB) Προβλήθηκε 286 φορές
Σχόλιο :

Η λύση των φίλων Γιώργου και Μιχάλη είναι απλές κι ωραίες.

Με εντυπωσίασε όμως η λύση του νεαρού Φωτιάδη γιατί δεν μας έχουν συνηθίσει

Τα παιδιά σε κατασκευές «παλιάς κοπής», όσο δυνατά και να είναι .

Επίσης υπάρχουν ( όπως πρωτοείπε ο KARKAR) και άλλες λύσεις .

Παράδειγμα: Το κέντρο του ζητούμενου κύκλου ταυτίζεται με το ( ένα από τα δύο )

κέντρα των κύκλων που διέρχονται από το O, το μέσο M του OA κι εφάπτονται

σε σταθερή παράλληλη ευθεία προς την OB. ( Κλασσική Απολλώνια κατασκευή )


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8511
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διαγωνιστικός κύκλος

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Οκτ 30, 2019 11:36 am

Doloros έγραψε:
Τετ Οκτ 30, 2019 10:51 am
Σχόλιο : ...Με εντυπωσίασε όμως η λύση του νεαρού Φωτιάδη γιατί δεν μας έχουν συνηθίσει

Τα παιδιά σε κατασκευές «παλιάς κοπής», όσο δυνατά και να είναι .

Έχεις δίκιο Νίκο, είναι εντυπωσιακό. Τα δείγματα γραφής όμως του νεαρού Φωτιάδη είναι τέτοια, που δεν με εκπλήσσει πλέον τίποτα. Χειρίζεται τα Γεωμετρικά και Τριγωνομετρικά θέματα με τέτοια άνεση, είτε χρησιμοποιεί στοιχειώδη μέσα είτε ακόμη και "βαριά εργαλεία" αν χρειαστεί.

Συγχαρητήρια!!! :clap2:

ΥΓ. Ένας λόγος παραπάνω ότι, τελευταία, είναι ένας από τους κύριους λύτες μου.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10948
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Διαγωνιστικός κύκλος

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Οκτ 31, 2019 12:53 pm

Η Επιτροπή διαγωνισμών βρίσκεται στη δυσάρεστη θέση , να ζητήσει από τους διαγωνιζόμενους

george visvikis και Μιχάλης Τσουρακάκης , να εξηγήσουν πως υπελόγισαν την ακτίνα

του μικρού κύκλου , ώστε η κρίση της να είναι κατά το δυνατόν αντικειμενική ...


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8511
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διαγωνιστικός κύκλος

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Οκτ 31, 2019 1:39 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Οκτ 31, 2019 12:53 pm
Η Επιτροπή διαγωνισμών βρίσκεται στη δυσάρεστη θέση , να ζητήσει από τους διαγωνιζόμενους

george visvikis και Μιχάλης Τσουρακάκης , να εξηγήσουν πως υπελόγισαν την ακτίνα

του μικρού κύκλου , ώστε η κρίση της να είναι κατά το δυνατόν αντικειμενική ...
Δ. Κύκλος.ΙΙ.png
Δ. Κύκλος.ΙΙ.png (15.32 KiB) Προβλήθηκε 234 φορές
\displaystyle K{M^2} - K{O^2} = N{M^2} - N{O^2} \Leftrightarrow {\left( {\frac{R}{2} + r} \right)^2} - {(R - r)^2} = {\left( {\frac{R}{2} - r} \right)^2} - {r^2} \Leftrightarrow \boxed{r=\frac{R}{4}}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10948
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Διαγωνιστικός κύκλος

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Οκτ 31, 2019 8:32 pm

Να και μία άλλη ( ας το διασκεδάσουμε λίγο ακόμη ) :
Διαγωνιστικός  κύκλος.png
Διαγωνιστικός κύκλος.png (16.55 KiB) Προβλήθηκε 191 φορές
( Για λόγους ευκολίας η ακτίνα του ημικυκλίου είναι η R , οπότε του τεταρτοκυκλίου η 2R ) .

Είναι : \sin\theta=\cos\phi \Leftrightarrow \dfrac{r}{2R-r}=\dfrac{R^2+(2R-r)^2-(R+r)^2}{2R(2R-r)}\Leftrightarrow r=\dfrac{R}{2} .

Η κατασκευή μπορεί λοιπόν να γίνει και ως εξής :

Το τρίγωνο KOM είναι ισοσκελές με : KO=KM=3r , OM=2r ...


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6784
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διαγωνιστικός κύκλος

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Νοέμ 01, 2019 12:18 am

Διαγωνιστικός κύκλος_κατασκευή_3.png
Διαγωνιστικός κύκλος_κατασκευή_3.png (10.84 KiB) Προβλήθηκε 163 φορές
Έστω M το μέσο του OA και S το αρμονικό συζυγές του A ως προς τα M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,O.

Η κάθετη στο S επί την OA τέμνει το ημικύκλιο και το τεταρτοκύκλιο στα T,F.

Η AT τέμνει την OB στο G. Ο κύκλος \left( {T,F,G} \right) είναι αυτός που θέλω.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης