Εμβαδόν και πλευρά

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3271
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Εμβαδόν και πλευρά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Δευ Νοέμ 11, 2019 10:27 pm

shape.png
shape.png (13.34 KiB) Προβλήθηκε 191 φορές
Στο παραπάνω σχήμα έχουμε: \angle BAC = \angle CDE = {90^ \circ },\,\angle ACD = \angle DCB, CE = 8cm και AB = 12cm. Να βρείτε:

1) Το εμβαδόν του τριγώνου DBC

2) Το μήκος της υποτείνουσας BC

Αν θέλετε να σχεδιάσετε με ακρίβεια το σχήμα, μπορείτε να δείτε το μήκος της BC εδώ ;) :
BC.png
BC.png (11.3 KiB) Προβλήθηκε 191 φορές
και για geogebra:

Κώδικας: Επιλογή όλων

8 + (3 + sqrt(3 + 3 3^(1/3) + 3^(2/3)) - sqrt(6 - 3 3^(1/3) - 3^(2/3) + 12/sqrt(3 + 3 3^(1/3) + 3^(2/3))))^2 - 1/6 (3 + sqrt(3 + 3 3^(1/3) + 3^(2/3)) - sqrt(6 - 3 3^(1/3) - 3^(2/3) + 12/sqrt(3 + 3 3^(1/3) + 3^(2/3))))^3


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7138
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εμβαδόν και πλευρά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Νοέμ 12, 2019 11:09 am

Είναι y = 8 - b\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,x = a - 8 . Επειδή :
Εμβαδόν και  πλευρά_a.png
Εμβαδόν και πλευρά_a.png (12.99 KiB) Προβλήθηκε 131 φορές
α) 2\left( {DBC} \right) = 2\left( {BDE} \right) + 2\left( {DEC} \right) = \left( {BEF} \right) + \left( {FEC} \right) = \left( {FBC} \right) = 8 \cdot 6 = 48 και άρα

\left( {DBC} \right) = 24

β)\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{EA}}{{BT}} = \frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{CA}}{{CB}} \hfill \\ 
  AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{y}{x} = \frac{b}{a} \hfill \\ 
  b = \sqrt {{a^2} - 144}  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{8 - b}}{{a - 8}} = \frac{b}{a} \hfill \\ 
  b = \sqrt {{a^2} - 144}  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  a(8 - b) - b(a - 8) \hfill \\ 
  b = \sqrt {{a^2} - 144}  \hfill \\  
\end{gathered}  \right.
Εμβαδόν και  πλευρά_oritzin_1.png
Εμβαδόν και πλευρά_oritzin_1.png (16.16 KiB) Προβλήθηκε 135 φορές
Έτσι έχω: a\left( {8 - \sqrt {{a^2} - 144} } \right) - \sqrt {{a^2} - 144} \left( {a - 8} \right) = 0

Η εξίσωση αυτή δίδει μόνο μια δεκτή πραγματική ρίζα:

a = \sqrt {\left( {\sqrt {1536\sqrt[3]{3} + 1024\sqrt[3]{{{3^2}}} + 2560} } \right) + 12\sqrt[3]{3} + 4\sqrt[3]{{{3^2}}} + 56}  - \sqrt {\left( { - 12\sqrt[3]{3} - 4\sqrt[3]{{{3^2}}} + 28} \right)}  + 2

Κατά προσέγγιση :a = 13,29419482


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9204
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εμβαδόν και πλευρά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Νοέμ 12, 2019 2:51 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Δευ Νοέμ 11, 2019 10:27 pm
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα έχουμε: \angle BAC = \angle CDE = {90^ \circ },\,\angle ACD = \angle DCB, CE = 8cm και AB = 12cm. Να βρείτε:

1) Το εμβαδόν του τριγώνου DBC

2) Το μήκος της υποτείνουσας BC

Αν θέλετε να σχεδιάσετε με ακρίβεια το σχήμα, μπορείτε να δείτε το μήκος της BC εδώ ;) : και για geogebra:

Κώδικας: Επιλογή όλων

8 + (3 + sqrt(3 + 3 3^(1/3) + 3^(2/3)) - sqrt(6 - 3 3^(1/3) - 3^(2/3) + 12/sqrt(3 + 3 3^(1/3) + 3^(2/3))))^2 - 1/6 (3 + sqrt(3 + 3 3^(1/3) + 3^(2/3)) - sqrt(6 - 3 3^(1/3) - 3^(2/3) + 12/sqrt(3 + 3 3^(1/3) + 3^(2/3))))^3

Έστω M το μέσο της EC και H η προβολή του D στη BC. Λόγω διχοτόμου θα είναι DA=DH=x.
Εμβαδόν και πλευρά.png
Εμβαδόν και πλευρά.png (17.42 KiB) Προβλήθηκε 111 φορές
1) \displaystyle DM||AC \Rightarrow \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{BM}}{{BC}} \Leftrightarrow \frac{{12 - x}}{{12}} = \frac{{a - 4}}{a} \Leftrightarrow ax = 48 \Leftrightarrow \boxed{(BDC)=24}

2) \displaystyle B{M^2} = D{M^2} + B{D^2} \Leftrightarrow {(a - 4)^2} = 16 + {(12 - x)^2} \Leftrightarrow {a^2} - 8a = {x^2} - 24x + 144

Αλλά, \displaystyle x = \frac{{48}}{a}, άρα καταλήγουμε στην εξίσωση \displaystyle {a^4} - 8{a^3} - 144{a^2} + 1152a - 2304 = 0, απ' όπου

παίρνουμε την προσεγγιστική λύση \boxed{BC=a=13,29419}

Για την ακρίβεια το λογισμικό δίνει: \displaystyle a = 2\left( {1 - \sqrt {7 - 3\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{9}}  + \sqrt {14 + 3\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9} + \frac{{16}}{{\sqrt {7 - 3\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{9}} }}} } \right)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης