Τριγωνομετρικές διαφορές

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11354
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τριγωνομετρικές διαφορές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Νοέμ 12, 2019 7:13 am

Α) Συγκρίνατε τις ποσότητες : a=\sin(50^0)-\sin(40^0) .... και b=\sin(60^0)-\sin(50^0)

Β) Υπολογίστε την b με προσέγγιση δεκάκις χιλιοστού . Εξυπνακίστικες λύσεις επιτρέπονται (!)



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 242
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Τριγωνομετρικές διαφορές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Τρί Νοέμ 12, 2019 8:39 am

b=sin60^0-sin50^0=2sin\frac{10^0}{2}cos\frac{110^0}{2}=2sin5^0cos55^0

a=sin50^0-sin40^0=2sin\frac{10^0}{2}cos\frac{90^0}{2}=2sin5^0cos45^0

b-a=2sin5^0(cos55^0-cos45^0)<0 \Leftrightarrow   a>b

Για το β. σε λίγο μήπως βρεθεί κάτι πιο γεωμετρικό πέρα από το προφανές sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}...


Με λύση προσαρμοσμένη στη σχολική ύλη δανεισμένη από τις αναλογίες και εφαρμόσιμη σε προβλήματα Στατιστικής Γ' Λυκείου. Παρουσιάζει απόκλιση βέβαια κατά 0.0596 από την τιμή που θα βρίσκαμε με χρήση υπολογιστή , αλλά είναι μια μέθοδος

Έστω  D=sin60^0-sin45^0 και  d=sin60^0-sin50^0
Τότε:
\dfrac{60^0-45^0}{D}=\dfrac{60^0-50^0}{d}\Leftrightarrow \dfrac{15}{\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{10}{d}

\Leftrightarrow d=\dfrac{2}{3}D=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3}=0.10594

Αν υπολογίσουμε έτσι το sin50 \approx 0.760 έναντι του 0.766 που δίνουν οι πίνακες.
τελευταία επεξεργασία από Ratio σε Τρί Νοέμ 12, 2019 10:31 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8950
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τριγωνομετρικές διαφορές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Νοέμ 12, 2019 9:20 am

A) \displaystyle a - b = \cos 40^\circ  - \sin 40^\circ  - \sin 60^\circ  + \cos 40^\circ  = 2\cos 40^\circ  - 2\sin 50^\circ \cos 10^\circ  =

\displaystyle 2\cos 40^\circ (1 - \cos 10^\circ ) > 0 \Leftrightarrow \boxed{a>b}

B) \displaystyle b = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \cos 40^\circ και \displaystyle \cos 120^\circ  = 4{\cos ^3}40^\circ  - 3\cos 40^\circ \mathop  \Leftrightarrow \limits^{\cos 40 = x} 8{x^3} - 6x + 1 = 0 με \dfrac{1}{2}<x<1.

Με διαδοχικές προσεγγίσεις (όποιος θέλει το πιστεύει :lol: )βρίσκω \displaystyle x = \cos 40^\circ  = 0,76604 κι επειδή

\displaystyle \frac{{\sqrt 3 }}{2} \simeq 0,86602, η ζητούμενη προσέγγιση του b είναι \boxed{b=0,0999}
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Τρί Νοέμ 12, 2019 1:47 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11904
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τριγωνομετρικές διαφορές

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Νοέμ 12, 2019 11:57 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Νοέμ 12, 2019 7:13 am
Α) Συγκρίνατε τις ποσότητες : a=\sin(50^0)-\sin(40^0) .... και b=\sin(60^0)-\sin(50^0)
Επειδή η \sin x στο πρώτο τεταρτημόριο στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω έχουμε

\displaystyle{ \frac {\sin(40^0)+\sin(60^0) }{2} <   \sin  \frac {40^0+60^0}{2}= \sin 50^0 },

ισοδύναμα \displaystyle{ b = \sin(60^0)-\sin(50^0) < \sin(50^0)-\sin(40^0) = a}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης