Καλή προσέγγιση

[KARKAR]

Δείξτε ότι η εξίσωση , έχει μια ρίζα ,

της οποίας μια πολύ καλή προσέγγιση είναι : .

[Ratio]

2019-11-15.png (357.61 KiB) Προβλήθηκε 217 φορές

Θεωρούμε , με
για την οποία ισχύουν τα ακόλουθα:




και



Η προσέγγιση ρίζας γίνεται μέσω θεωρήματος Bolzano , με τον κανόνα της διχοτόμησης του διαστήματος

1ο διάστημα:
1η επαναληψη: επιλογή ανάμεσα στα διαστήματα και με εφαρμογή u. Bolzano
κ.ο.κ
Για ευκολία σε όσους μαθητές το επιχειρήσουν ένα απλό πρόγραμμα σε ψευδογλώσσα για να δουν την προσέγγιση. Η προσεγγιστική ρίζα ζητήθηκε με διαφορά 0.01


πρόγραμμα προσέγγιση

ΣΤΑΘΕΡΕΣ
e=-Ε(1)
r=2^2.5
k=2^2.5-2.5*ΛΟΓ(2)-Ε(2)
difference=0.01

ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ: a,b,x,y1,y2,y3
ΑΚΕΡΑΙΕΣ: n
ΑΡΧΗ
a <-- 1
b <-- Ε(2)

n <-- 1
ΓΡΑΨΕ 'ακρο διαστηματος a = ', a
ΓΡΑΨΕ 'ακρο διαστηματος b = ', b
y1 <-- a+ΛΟΓ(a)-Ε(2)
y2 <-- b+ΛΟΓ(b)-Ε(2)
ΑΝ y1*y2<0 ΤΟΤΕ
x <-- (a+b)/2
y3 <-- x+ΛΟΓ(x)-Ε(2)
ΤΕΛΟΣ_ΑΝ
ΑΝ y1*y3<0 ΤΟΤΕ
b <-- (a+b)/2
ΑΛΛΙΩΣ_ΑΝ y2*y3<0 ΤΟΤΕ
a <-- (a+b)/2
ΤΕΛΟΣ_ΑΝ
ΓΡΑΨΕ '(',a,',',b,')-->(',y1,',',y2,')'

ΓΡΑΨΕ 'x=(a+b)/2=',x,' and f(x)= ',y3


ΓΡΑΨΕ 'διαφορα προσεγγισεων =', (a+b)/2 -r

ΓΡΑΨΕ 'διαφορά f(x)-k= ', Α_Τ(y3-k)
ΟΣΟ Α_Τ(x-r)>difference ΕΠΑΝΑΛΑΒΕ


y1 <-- a+ΛΟΓ(a)-Ε(2)
y2 <-- b+ΛΟΓ(b)-Ε(2)
ΑΝ y1*y2<0 ΤΟΤΕ
x <-- (a+b)/2
y3 <-- x+ΛΟΓ(x)-Ε(2)
ΤΕΛΟΣ_ΑΝ
ΑΝ y1*y3<0 ΤΟΤΕ
b <-- (a+b)/2
ΑΛΛΙΩΣ_ΑΝ y2*y3<0 ΤΟΤΕ
a <-- (a+b)/2
ΤΕΛΟΣ_ΑΝ
ΓΡΑΨΕ '(',a,',',b,')-->(',y1,',',y2,')'

ΓΡΑΨΕ 'x=(a+b)/2=',x,' and f(x)= ',y3


ΓΡΑΨΕ 'διαφορα προσεγγισεων =', (a+b)/2 -r

ΓΡΑΨΕ 'διαφορά f(x)-k= ', Α_Τ(y3-k)

n <-- n+1
ΤΕΛΟΣ_ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΓΡΑΨΕ 'number of repetitions=' , n

ΤΕΛΟΣ_ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ