Μέγιστο ... ποικιλοτρόπως

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11876
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστο ... ποικιλοτρόπως

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Νοέμ 21, 2019 11:14 am

Ζητούμενο : Να βρεθεί με τέσσερις - τουλάχιστον - διαφορετικούς τρόπους , το μέγιστο

της συνάρτησης : f(x)=x+\sqrt{1-x^2} . Ο καθένας ας γράψει μόνο μία λύση ...



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9787
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο ... ποικιλοτρόπως

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Νοέμ 21, 2019 11:34 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Νοέμ 21, 2019 11:14 am
Ζητούμενο : Να βρεθεί με τέσσερις - τουλάχιστον - διαφορετικούς τρόπους , το μέγιστο

της συνάρτησης : f(x)=x+\sqrt{1-x^2} . Ο καθένας ας γράψει μόνο μία λύση ...
\displaystyle x = \sin t \Rightarrow f(x) = \sin t + |cos t| που παίρνει ως γνωστόν μέγιστη τιμή \sqrt 2.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1856
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Μέγιστο ... ποικιλοτρόπως

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Πέμ Νοέμ 21, 2019 12:13 pm

Επειδή η εξίσωση f(x)=y θα έχει πάντα λύση για κάθε x \in [-1,1] λύνοντας ως προς x καταλήγουμε στην 2x^2-2y x +y^2-1=0 όπου αναγκαστικά \Delta \ge 0 έπεται |y|\leq \sqrt{2} βρίσκουμε ότι f(x)= \sqrt{2} \Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{2} .
Άρα το μέγιστο είναι \sqrt{2} .


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Altrian
Δημοσιεύσεις: 210
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Μέγιστο ... ποικιλοτρόπως

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Πέμ Νοέμ 21, 2019 12:53 pm

Εστω a=x, b=\sqrt{1-x^{2}}\Rightarrow a^{2}+b^{2}=1.

Επίσης ισχύει ότι: a^{2}+b^{2}\geq 2ab\Rightarrow 2(a^{2}+b^{2})\geq (a+b)^{2}\Rightarrow 2\geq (a+b)^{2}\Rightarrow (a+b)_{max}=f_{max}(x)=\sqrt{2}


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12624
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μέγιστο ... ποικιλοτρόπως

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Νοέμ 21, 2019 12:55 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Νοέμ 21, 2019 11:14 am
Ζητούμενο : Να βρεθεί με τέσσερις - τουλάχιστον - διαφορετικούς τρόπους , το μέγιστο

της συνάρτησης : f(x)=x+\sqrt{1-x^2} . Ο καθένας ας γράψει μόνο μία λύση ...
Από Cauchy-Schwarz είναι \displaystyle{x+\sqrt{1-x^2}  =1 \cdot x+1 \cdot \sqrt{1-x^2}    \le  \sqrt {1^2+1^2} \sqrt {x^2+1-x^2} = \sqrt 2 }, και λοιπά και λοιπά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4712
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστο ... ποικιλοτρόπως

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Νοέμ 21, 2019 1:10 pm

M' αρέσει που έχουμε πιάσει όλες τις περιφερειακές και τις καημένες τις παραγώγους τις έχουμε αφήσει στην άκρη...

Αν -1 \le x < 0, είναι  \displaystyle f\left( x \right) < 1 .

Για κάθε  \displaystyle x \in \left[ {0,\;1} \right] είναι  \displaystyle {f^2}\left( x \right) = {\left( {x + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)^2} = {x^2} + \left( {1 - {x^2}} \right) + 2x\sqrt {1 - {x^2}}  = 1 + 2\sqrt {{x^2}\left( {1 - {x^2}} \right)} .

Επειδή το άθροισμα  \displaystyle {x^2} + 1 - {x^2} = 1 είναι σταθερό, το γινόμενό τους παρουσιάζει μέγιστο όταν είναι ίσοι (εφόσον μπορεί να γίνουν ίσοι), οπότε το  \displaystyle {f^2}\left( x \right) παρουσιάζει μέγιστο όταν  \displaystyle {x^2} = 1 - {x^2} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} .

Τότε παρουσιάζει μέγιστο και η  \displaystyle f\left( x \right) , με τιμή  \displaystyle f\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \sqrt 2 .


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1324
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Μέγιστο ... ποικιλοτρόπως

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Νοέμ 22, 2019 12:47 am

Καλημέρα σε όλους!. Ας δούμε και μια << εικονική>> λύση , ελπίζω -λόγω φακέλου- προς ... :) ...τέρψιν του θεματοθέτη και όχι μόνο.

Θεωρώ f\left ( x \right )=g\left ( x \right )+h\left ( x \right ) με g\left ( x \right )=x και h\left ( x \right )=\sqrt{1-x^{2}}. Οι C_{g},C_{h} , διχοτόμος και ημικύκλιο φαίνονται στο σχήμα:
Μέγιστο..KARKAR.PNG
Μέγιστο..KARKAR.PNG (16.15 KiB) Προβλήθηκε 249 φορές
Το M είναι το μέσον του τόξου AB , η MI εφαπτομένη και MG \perp OA.

Το P διατρέχει το τόξο AB ενώ PE \perp OA και PN \perp OBI.Τότε \widehat{NIP} \leq  \widehat{NIM}=45^{0} \Rightarrow  \boxed {PN \leq  NI}

Αν x=-OZ< 0 τότε f\left ( x \right )=ZH-OZ< OB=1.

Αν x=OE  \geq  0 τότε f\left ( x \right )=OE+EP=PN+ON\leq ON+NI=OI=\sqrt{2} .

Μέγιστο έχουμε για x=OG=\dfrac{\sqrt{2}}{2} το f\left ( x \right )=OG+GM=\sqrt{2}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4712
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστο ... ποικιλοτρόπως

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Νοέμ 22, 2019 7:36 pm

Επειδή το θέμα ήδη χάθηκε στις πίσω σελίδες το επαναφέρω, παραβαίνοντας τον όρο του θεματοδότη. :roll:

Έστω  \displaystyle \vec u = \left( {x,\;y} \right),\;\;x,y \in R,\;\;y \ge 0 , ώστε  \displaystyle {x^2} + {y^2} = 1 και  \displaystyle \vec v = \left( {1,1} \right)

Είναι  \displaystyle \vec u \cdot \vec v = x + y = x + \sqrt {1 - {x^2}} με τη μέγιστη τιμή του όταν  \displaystyle \vec u \nearrow  \nearrow \vec v , που συμβαίνει όταν  \displaystyle x = y = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \vec u \cdot {\vec v_{\max }} = \sqrt 2



Θα ήθελε ο θεματοδότης να δώσει (για λόγους πληρότητας της δημοσίευσης) και τη λύση με τη χρήση παραγώγων;


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11876
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μέγιστο ... ποικιλοτρόπως

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Νοέμ 22, 2019 8:18 pm

Γιώργο , προφανώς κανένας δεν έγραψε την λύση με την παράγωγο , διότι όλοι την θεωρούν βαρετή .

Παρά ταύτα , αν τεθεί ως θέμα εξετάσεων , το σύνολο σχεδόν των μαθητών θα το λύσουν έτσι .

Ίσως είναι μια ακόμη ένδειξη του ότι κάτι δεν πάει καλά στην Εκπαίδευσή μας ...

Τέλος πάντων , ας την γράψω : Είναι D_{f}=[-1 , 1] και f'(x)=1-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} .

Αυτή μηδενίζεται μόνο για x=\dfrac{\sqrt{2}}{2} . Επειδή : f'(0)=1 και f'(\dfrac{4}{5})=-\dfrac{1}{3} ,

η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο για x=\dfrac{\sqrt{2}}{2} , το : f_{max}=\sqrt{2}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4712
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστο ... ποικιλοτρόπως

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Νοέμ 22, 2019 10:02 pm

Μια ακόμα γεωμετρική ερμηνεία του θέματος είναι η εξής:

Αν Αν -1 \le x < 0, είναι  \displaystyle f\left( x \right) < 1 .

Για κάθε  \displaystyle x \in \left[ {0,\;1} \right] , έστω  \displaystyle y = \sqrt {1 - {x^2}} , οπότε το σημείο M(x, y) κινείται στο 1ο τεταρτοκύκλιο του κύκλου με εξίσωση x^2+y^2=1.


22-11-2019 Μέγιστο άθροισμα.png
22-11-2019 Μέγιστο άθροισμα.png (31.77 KiB) Προβλήθηκε 186 φορές

Στο τρίγωνο ABC η υποτείνουσα είναι σταθερή, ίση με 1. Το άθροισμα των κάθετων πλευρών του AB+AC = x+y γίνεται μέγιστο όταν είναι ισοσκελές. Αυτό αποδεικνύεται εύκολα και με πολλούς τρόπους. Παλιά υπήρχε σε όλα τα βιβλία Άλγεβρας και Γεωμετρίας που ασχολούνταν με Μέγιστα-Ελάχιστα.

Δείτε π.χ. Π.Τόγκα , Άλγεβρα, τόμος Β, παράγραφος 829, σσ. 894-895

Επίσης, στη σχετική συζήτηση που έγινε σχεδόν πριν ένα χρόνο, ΕΔΩ, και στις εκεί παραπομπές.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1856
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Μέγιστο ... ποικιλοτρόπως

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Παρ Νοέμ 22, 2019 11:41 pm

Μια ακόμα με παραγώγους:

Είναι D_{f}=[-1 , 1] και f συνεχής και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του D με f'(x)=1-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} .

Οι πιθανές θέσεις ακροτάτων της συνάρτησης θα είναι στα άκρα του διαστήματος είτε στα σημεία μηδενισμού της παραγώγου.

Η παράγωγος μηδενίζεται για x=\dfrac{\sqrt{2}}{2} .

Έχουμε f(-1)=-1 , f(1)=1 ,f(\dfrac{\sqrt{2}}{2})=\sqrt{2} .

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο εκεί που έχουμε την αντίστοιχα μεγαλύτερη τιμή, συνεπώς για x=\dfrac{\sqrt{2}}{2} , το f(\dfrac{\sqrt{2}}{2})=\sqrt{2}


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1856
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Μέγιστο ... ποικιλοτρόπως

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Σάβ Νοέμ 23, 2019 12:45 pm

Επειδή είμαστε στον φάκελο διασκεδαστικών μαθηματικών.

Με χρήση του λογισμικού geogebra διαμορφώνουμε (* κατασκευάζουμε) τον γεωμετρικό τόπο. Στην συνέχεια διατυπώνουμε την

υπόθεση ότι για x=\frac{\sqrt{2}}{2} ενδεχομένως να παρουσιάζει μέγιστο.

DeepinScreenshot_select-area_20191123193959.png
DeepinScreenshot_select-area_20191123193959.png (16.81 KiB) Προβλήθηκε 103 φορές
Τώρα που έχουμε μια εικασία μένει να την αποδείξουμε.

* f(x) \leq f(\frac{\sqrt{2}}{2})=\sqrt{2} \Leftrightarrow \sqrt{1-x^2} \leq \sqrt{2}-x \Leftrightarrow 2x^2-2\sqrt{2}x+1 \ge 0

που η τελευταία ισχύει για κάθε x \in [0,1].

Υ.Γ.: * Πρόσθεσα κάποια πράγματα για λόγους πληρότητας.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης