Ημικύκλιο κι ευθεία

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7535
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Ημικύκλιο κι ευθεία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Νοέμ 22, 2019 10:06 am

Ημικύκλιο κι  ευθεία.png
Ημικύκλιο κι ευθεία.png (8.24 KiB) Προβλήθηκε 223 φορές

Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου AB = 2. Από το A διέρχεται ευθεία, \left( \varepsilon  \right),

που σχηματίζει οξεία γωνία 45^\circ με τη AB αλλά δεν τέμνει το ημικύκλιο.

Σημείο F κινείται στο ημικύκλιο . Η από το F παράλληλη στην AB τέμνει την ευθεία \left( \varepsilon  \right) στο P. Να βρεθεί η μέγιστη απόσταση FP



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2068
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Ημικύκλιο κι ευθεία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Παρ Νοέμ 22, 2019 12:01 pm

Με τα θερμά μου χαιρετίσματα στους συνεβδομηντάρηδες αγαπητούς μου φίλους Νίκο Φραγκάκη και Κώστα Δόρτσιο.

Έστω M το μέσον του δοσμένου ημικυκλίου και έστω το σημείο Z\equiv BM\cap PF.

To ABZP είναι παραλληλόγραμμο, λόγω και BM\parallel AP και άρα ισχύει PZ = AB.

Έτσι, ζητείται ισοδύναμα, η μεγιστοποίηση του ZF.

Έστω K, η προβολή του σημείου F επί της BM και από το ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο \vartriangle KFZ έχουμε (ZF)^{2} = 2(KF)^{2}\ \ \ ,(1)

Από (1) προκύπτει ότι το ZF μεγιστοποιείται όταν γίνεται μέγιστο το KF, το οποίο επιτυγχάνεται όταν το F ταυτίζεται με το μέσον του τόξου (τεταρτοκυκλίου) \overset\frown{BM} του δοσμένου ημικυκλίου.

Κώστας Βήττας.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11876
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ημικύκλιο κι ευθεία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Νοέμ 22, 2019 1:58 pm

Κρίμα.png
Κρίμα.png (7.24 KiB) Προβλήθηκε 189 φορές
Κρίμα να πάει χαμένη αυτή η ανακάλυψη , σκέφθηκε ο Νίκος .

Διότι αφού : PF=1+p+\sqrt{1-p^2} , είναι : PF_{max}=1+\sqrt{2} .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7535
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ημικύκλιο κι ευθεία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Νοέμ 22, 2019 3:29 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 22, 2019 1:58 pm
Κρίμα.pngΚρίμα να πάει χαμένη αυτή η ανακάλυψη , σκέφθηκε ο Νίκος .

Διότι αφού : PF=1+p+\sqrt{1-p^2} , είναι : PF_{max}=1+\sqrt{2} .
Ακριβώς κι αν την ευθεία την περνούσα αντι του A απο την αρχή των αξόνων θα είχαμε τη δική σου άσκηση που απαιτείς μια μόνο λύση από καθένα.

Έχω όμως και άλλη, εκτός του Κώστα, γεωμετρική λύση


Altrian
Δημοσιεύσεις: 210
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Ημικύκλιο κι ευθεία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Παρ Νοέμ 22, 2019 7:39 pm

Καλησπέρα,

Ευκολα προκύπτει ότι το τμήμα FP μεγιστοποιείται όταν το F είναι το σημείο που η παράλληλη της ευθείας εφάπτεται στον κύκλο.
Αυτό ισχύει για κάθε γωνία ευθείας και διαμέτρου. Τώρα για την 45 έχουμε: FP_{max}=1+\sqrt{2}.
Συνημμένα
ημικύκλιο και ευθεία.png
ημικύκλιο και ευθεία.png (18.38 KiB) Προβλήθηκε 138 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης