Χαρταετός - μαυραετός

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11223
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Χαρταετός - μαυραετός

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Νοέμ 25, 2019 1:22 pm

Χαρταετός - μαυραετός.png
Χαρταετός - μαυραετός.png (11.87 KiB) Προβλήθηκε 123 φορές
Στο ορθογώνιο ABCD , εγγράψαμε τον χαρταετό ABPS . Ορθογώνιο και χαρταετός έχουν

πλευρές με ακέραια μήκη . Φτιάξε ένα τέτοιο σχήμα , με όσο γίνεται μικρότερα μήκη πλευρών.

Ιδιαιτέρως ενδιαφέρομαι για την περίπτωση που : (ABPS)=\dfrac{5}{9}(ABCD) .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8806
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Χαρταετός - μαυραετός

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Νοέμ 25, 2019 5:16 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Νοέμ 25, 2019 1:22 pm
Χαρταετός - μαυραετός.pngΣτο ορθογώνιο ABCD , εγγράψαμε τον χαρταετό ABPS . Ορθογώνιο και χαρταετός έχουν

πλευρές με ακέραια μήκη . Φτιάξε ένα τέτοιο σχήμα , με όσο γίνεται μικρότερα μήκη πλευρών.

Ιδιαιτέρως ενδιαφέρομαι για την περίπτωση που : (ABPS)=\dfrac{5}{9}(ABCD) .
Χαρταετός-μαυραετός.png
Χαρταετός-μαυραετός.png (12.72 KiB) Προβλήθηκε 101 φορές
Μάλλον θα θέλετε και αιτιολόγηση :lol: (εκτός κι αν αμφισβητείται το σχήμα μου).


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8806
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Χαρταετός - μαυραετός

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Νοέμ 25, 2019 5:46 pm

Ας δούμε τώρα πώς καταλήξαμε στο παραπάνω σχήμα. Έστω \displaystyle AB = CD = a,BC = AD = b,DP = x,DS = y.
Χαρταετός-μαυραετός.ΙΙ.png
Χαρταετός-μαυραετός.ΙΙ.png (12.47 KiB) Προβλήθηκε 96 φορές
(DPS) + (CPB) = \dfrac{4}{9}(ABCD) \Leftrightarrow \boxed{\frac{{xy}}{2} + \frac{{b(a - x)}}{2} = \frac{{4ab}}{9}} (1)

Αλλά, με Π. Θ στο DPS, \displaystyle y = \frac{{{b^2} - {x^2}}}{{2b}} και αντικαθιστώντας στην (1), \boxed{9x^3+9b^2x-2ab^2=0} (2)

Π. Θ στο PCB, \displaystyle {b^2} = 2ax - {x^2}\mathop  \Rightarrow \limits^{(2)} 9{x^3} + 18a{x^2} - 9{x^3} - 4{a^2}x + 2a{x^2} = 0 \Leftrightarrow \boxed{x=\frac{a}{5}}

Τα υπόλοιπα εύκολα.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6960
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Χαρταετός - μαυραετός

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Νοέμ 26, 2019 4:15 am

Έστω:a > b

\displaystyle \vartriangle DPS \approx \vartriangle CBP \Rightarrow \boxed{\frac{k}{m} = \frac{b}{{a - k}}}\,\,(1) . Π. Θ. στο \vartriangle CBP: {\left( {a - x} \right)^2} = {a^2} - {b^2}.

Άρα \boxed{a - x = \sqrt {{a^2} - {b^2}} }\,\,(2) , οπότε: \boxed{\frac{k}{m} = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}}

Κατασκευή :

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο DPS με πλευρές ακεραίους ( Πυθαγόρεια τριάδα)

SA = PS = \sqrt {{m^2} + {k^2}} πρέπει όμως να υπάρχει θετικός ακέραιος \lambda και να ισχύει :

b = k\lambda  = DA \Rightarrow \boxed{\lambda  = \dfrac{{m + \sqrt {{m^2} + {k^2}} }}{k}} και \boxed{a = k + \lambda m}

Παραδείγματα :
μαυραετός χαρταετός.png
μαυραετός χαρταετός.png (8.28 KiB) Προβλήθηκε 65 φορές
α) k = 8,\,\,m = 15 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \sqrt {{k^2} + {m^2}}  = 17 \hfill \\ 
  b = 15 + 17 = 32 \hfill \\ 
  32 = 8\lambda  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \sqrt {{k^2} + {m^2}}  = 17 \hfill \\ 
  b = 15 + 17 = 32 \hfill \\ 
  \lambda  = 4 \hfill \\ 
  PC = 4 \cdot 15 = 60 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{a = 68\,\,,\,\,b = 32}

β) Η μικρότερη δυάδα \left( {k,m} \right) = \left( {3,4} \right) έτσι όπως πιο πάνω:

b = 4 + 5 = 9\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\lambda  = \dfrac{{4 + 5}}{3} = 3 και \alpha  = 3 + 4 \cdot 3 = 15 . Εδώ έχουμε και το ζητούμενο λόγο .

γ) \left( {k,m} \right) = \left( {5,12} \right) \Rightarrow \sqrt {{k^2} + {m^2}}  = 13 \Rightarrow \boxed{b = 13 + 12 = 25}

\lambda  = \dfrac{{m + \sqrt {{m^2} + {k^2}} }}{k} = \dfrac{{12 + 13}}{5} = 5 , άρα \boxed{a = k + 5 \cdot m = 5 + 60 = 65}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης