mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 25, 2019 1:22 pm**

: Χαρταετός - μαυραετός.png (11.87 KiB) Προβλήθηκε 411 φορές

Στο ορθογώνιο ABCD

, εγγράψαμε τον χαρταετό ABPS

. Ορθογώνιο και χαρταετός έχουν

πλευρές με ακέραια μήκη . Φτιάξε ένα τέτοιο σχήμα , με όσο γίνεται μικρότερα μήκη πλευρών.

Ιδιαιτέρως ενδιαφέρομαι για την περίπτωση που : $(ABPS)=\dfrac{5}{9}(ABCD)$ .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 25, 2019 5:16 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 25, 2019 1:22 pm
Χαρταετός - μαυραετός.pngΣτο ορθογώνιο , εγγράψαμε τον χαρταετό . Ορθογώνιο και χαρταετός έχουν

πλευρές με ακέραια μήκη . Φτιάξε ένα τέτοιο σχήμα , με όσο γίνεται μικρότερα μήκη πλευρών.

Ιδιαιτέρως ενδιαφέρομαι για την περίπτωση που : $(ABPS)=\dfrac{5}{9}(ABCD)$ .

: Χαρταετός-μαυραετός.png (12.72 KiB) Προβλήθηκε 389 φορές

Μάλλον θα θέλετε και αιτιολόγηση

(εκτός κι αν αμφισβητείται το σχήμα μου).

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 25, 2019 5:46 pm**

Ας δούμε τώρα πώς καταλήξαμε στο παραπάνω σχήμα. Έστω $\displaystyle AB = CD = a,BC = AD = b,DP = x,DS = y.$

: Χαρταετός-μαυραετός.ΙΙ.png (12.47 KiB) Προβλήθηκε 384 φορές

$(DPS) + (CPB) = \dfrac{4}{9}(ABCD) \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{xy}}{2} + \frac{{b(a - x)}}{2} = \frac{{4ab}}{9}}$ (1)

Αλλά, με Π. Θ στο DPS,

$\displaystyle y = \frac{{{b^2} - {x^2}}}{{2b}}$ και αντικαθιστώντας στην (1),

$\boxed{9x^3+9b^2x-2ab^2=0}$ (2)

Π. Θ στο

$\displaystyle {b^2} = 2ax - {x^2}\mathop \Rightarrow \limits^{(2)} 9{x^3} + 18a{x^2} - 9{x^3} - 4{a^2}x + 2a{x^2} = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{x=\frac{a}{5}}$

Τα υπόλοιπα εύκολα.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 26, 2019 4:15 am**

Έστω:

$\displaystyle \vartriangle DPS \approx \vartriangle CBP \Rightarrow \boxed{\frac{k}{m} = \frac{b}{{a - k}}}\,\,(1)$ . Π. Θ. στο $\vartriangle CBP$ : ${\left( {a - x} \right)^2} = {a^2} - {b^2}$ .

Άρα $\boxed{a - x = \sqrt {{a^2} - {b^2}} }\,\,(2)$ , οπότε: $\boxed{\frac{k}{m} = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}}$

Κατασκευή :

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο DPS

με πλευρές ακεραίους ( Πυθαγόρεια τριάδα)

$SA = PS = \sqrt {{m^2} + {k^2}}$ πρέπει όμως να υπάρχει θετικός ακέραιος $\lambda$ και να ισχύει :

$b = k\lambda = DA \Rightarrow \boxed{\lambda = \dfrac{{m + \sqrt {{m^2} + {k^2}} }}{k}}$ και $\boxed{a = k + \lambda m}$

Παραδείγματα :

: μαυραετός χαρταετός.png (8.28 KiB) Προβλήθηκε 353 φορές

α) $k = 8,\,\,m = 15 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \sqrt {{k^2} + {m^2}} = 17 \hfill \\ b = 15 + 17 = 32 \hfill \\ 32 = 8\lambda \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \sqrt {{k^2} + {m^2}} = 17 \hfill \\ b = 15 + 17 = 32 \hfill \\ \lambda = 4 \hfill \\ PC = 4 \cdot 15 = 60 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{a = 68\,\,,\,\,b = 32}$

β) Η μικρότερη δυάδα $\left( {k,m} \right) = \left( {3,4} \right)$ έτσι όπως πιο πάνω:

$b = 4 + 5 = 9\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\lambda = \dfrac{{4 + 5}}{3} = 3$ και $\alpha = 3 + 4 \cdot 3 = 15$ . Εδώ έχουμε και το ζητούμενο λόγο .

γ) $\left( {k,m} \right) = \left( {5,12} \right) \Rightarrow \sqrt {{k^2} + {m^2}} = 13 \Rightarrow \boxed{b = 13 + 12 = 25}$

$\lambda = \dfrac{{m + \sqrt {{m^2} + {k^2}} }}{k} = \dfrac{{12 + 13}}{5} = 5$ , άρα $\boxed{a = k + 5 \cdot m = 5 + 60 = 65}$

mathematica.gr

Χαρταετός - μαυραετός

Χαρταετός - μαυραετός

Re: Χαρταετός - μαυραετός

Re: Χαρταετός - μαυραετός

Re: Χαρταετός - μαυραετός