Μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11540
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Νοέμ 25, 2019 8:10 pm

Μέγιστο  εμβαδόν.png
Μέγιστο εμβαδόν.png (8.83 KiB) Προβλήθηκε 244 φορές
Ποιο είναι το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου ABCD του σχήματος ;

Δεκτές μόνο ολοκληρωμένες λύσεις , δηλαδή με αριθμητικό αποτέλεσμα !

Αποδείξτε την "εντιμότητα" της λύσης σας , εξηγώντας την κατασκευή σας .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4594
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Νοέμ 25, 2019 9:55 pm

Από τον τύπο του εμβαδού

 \displaystyle E = \sqrt {(s - a)(s - b)(s - c)(s - d) - abcd{{\cos }^2}\frac{{A + C}}{2}} προκύπτει ότι το μέγιστο εμβαδόν το έχει το εγγράψιμμο, δηλαδή όταν  \displaystyle A + C = {180^o}.

Τότε  \displaystyle E = \sqrt {(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)}  = \sqrt {10 \cdot 9 \cdot 15 \cdot 6}  = 90 .

Τώρα σχετικά με την κατασκευή, τηρώντας την προτροπή περί εντιμότητας, οφείλω να αναφέρω ότι ξεπερνά τις γεωμετρικές μου γνώσεις.

Θυμάμαι απλά, ότι παλαιότερα είχα θέσει το γενικότερο πρόβλημα, είχε απαντήσει ο Μιχάλης Λάμπρου και ο Θανάσης είχε δώσει μια πολύ ενδιαφέρουσα παραπομπή στην ιστοσελίδα του Πάρι Πάμφιλου που περιγράφει τη διαδικασία της κατασκευής. Για να περιγράψω την κατασκευή, επειδή δεν τη θυμάμαι, θα έπρεπε να ανατρέξω στην σελίδα και να την αντιγράψω κάτι που δεν το θέλω και δεν μάς αρμόζει.

Αν δεν εντοπίσει κάποιος τη συζήτηση, θα την αναζητήσω εν ευθέτω χρόνω.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3005
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Νοέμ 25, 2019 10:19 pm

Λόγω της απάντησης του Γιώργου αφού το τετράπλευρο θα είναι εγγράψιμμο
εφαρμόζοντας τα δυο θεωρήματα του Πτολεμαίου
υπολογίζουμε τις διαγώνιες AC,BD και μετά όλα είναι εύκολα.
Τέτοια ώρα η χειρότερη διασκέδαση είναι να κάνεις πράξεις.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1256
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Νοέμ 25, 2019 10:50 pm

Καλό βράδυ σε όλους! Υποβάλλω το σχήμα , θ' ακολουθήσει η αιτιολόγηση της κατασκευής..
Μέγιστο εμβαδόν KARKAR.PNG
Μέγιστο εμβαδόν KARKAR.PNG (11.28 KiB) Προβλήθηκε 194 φορές
Για το εγγράψιμο ABCD ισχύει cosC=-cosA. Βρίσκουμε (*) δύο εκφράσεις για το BD^{2} με τη βοήθεια του Ν.Συνημιτόνων :
Στο τρίγωνο ABD είναι BD^{2}=5^{2}+11^{2}-2\cdot 5\cdot 11cosA

ενώ στο BCD είναι BD^{2}=10^{2}+14^{2}-2\cdot 10\cdot 14cosC=10^{2}+14^{2}+2\cdot 10\cdot 14cosA.
Εξισώνοντας προκύπτει cosA=-\dfrac{5}{13}.

Η κατασκευή λοιπόν ξεκινά με το τρίγωνο ABE της Πυθαγόρειας τριάδας \left ( 5,12,13 \right ) και η συνέχεια είναι φανερή.

(*) Για την <<εντιμότητα>> του πράγματος πρέπει να πω ότι την ως άνω ιδέα -που μου άρεσε ασφαλώς- την είδα να την προβάλει παλαιότερα
ο .. :) ..Θώς των Αγράφων , δηλ ο θεματοθέτης και του παρόντος!! Φιλικά , Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9191
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Νοέμ 26, 2019 8:30 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Νοέμ 25, 2019 8:10 pm
Μέγιστο εμβαδόν.pngΠοιο είναι το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου ABCD του σχήματος ;

Δεκτές μόνο ολοκληρωμένες λύσεις , δηλαδή με αριθμητικό αποτέλεσμα !

Αποδείξτε την "εντιμότητα" της λύσης σας , εξηγώντας την κατασκευή σας .
Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και δίνω την κατασκευή του.
Μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου.Κ.png
Μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου.Κ.png (24.21 KiB) Προβλήθηκε 145 φορές
Προεκτείνω το ευθύγραμμο τμήμα \displaystyle CD = 14 κατά \displaystyle DT = \frac{{AD \cdot BC}}{{AB}} = 22. Γράφω τον Απολλώνιο κύκλο που τα

σημεία του απέχουν από τα C, T λόγο \displaystyle \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{5}{{11}}. Ο κύκλος \displaystyle (D,11) τέμνει τον Απολλώνιο στο A και ο κύκλος

(A, 5) τέμνει τον περίκυκλο του ACD στο B και ολοκληρώνεται η κατασκευή.


Η παραπάνω κατασκευή γίνεται για οποιοδήποτε εγγράψιμο τετράπλευρο με πλευρές a, b, c, d και είναι γνωστή ως

θεώρημα του \color{red}\rm{Sturm}. Εύκολα τώρα με \color{blue} {\rm{Brahmagupta}}, \boxed{(ABCD)=90}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7131
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Νοέμ 26, 2019 7:09 pm

Για το ιστορικό του θέματος .

μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου.png
μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου.png (20.27 KiB) Προβλήθηκε 106 φορές
Επειδή {11^2} - {5^2} = {14^2} - {10^2} = 96 ( συνθήκη καθετότητας) θα είναι AC \bot BD.

Αν λοιπόν υπολογίσουμε το : \left( {ABCD} \right) αυτό θα είναι και το μέγιστο δυνατόν εμβαδόν.

Αλλά για κάθε τετράπλευρο με σταθερές πλευρές υπάρχει ισοδύναμο εγγράψιμο τετράπλευρο με τις ίδιες πλευρές

( Γεωμετρία Σπύρου Κανέλλου έκδοση 1977- παλιό σχολικό- παράγραφος 134)

Έτσι όπως έγραψε και ο Γιώργος Ρίζος:

\left( {ABCD} \right) = \sqrt {(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)} \, = 90\,\,\,,2s = a + b + c + d


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4594
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Νοέμ 26, 2019 7:47 pm

Καλησπέρα σε όλους. Τελικά ήταν άφθονες και πλουσιότατες οι συζητήσεις σχετικά με το θέμα. Παραθέτω κάποιες παλαιότερες συζητήσεις. (Κάποιες αλληλοσυνδέονται)

ΕΔΩ, Απρίλιος 2011

ΕΔΩ, Ιούλιος 2011

ΕΔΩ, Αύγουστος 2011

ΕΔΩ, Ιανουάριος 2012

ΕΔΩ, Μάιος 2016


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7131
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Νοέμ 26, 2019 8:01 pm

άλλος υπολογισμός
μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου_1.png
μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου_1.png (24.13 KiB) Προβλήθηκε 84 φορές
Φέρνω από το D παράλληλη που τέμνει την BA στο F και άρα ( μετασχηματισμός τετραπλεύρου σε ισοδύναμο τρίγωνο)

\left( {ABCD} \right) = \left( {FBC} \right) . Αν FT \bot BD θα είναι :

2\left( {ABCD} \right) = 2\left( {FBC} \right) \Leftrightarrow AC \cdot BD = 10FT

. Αλλά από Θ Πτολεμαίου AC \cdot BD = 14 \cdot 5 + 11 \cdot 10 = 180 άρα FT = 18 και \left( {ABCD} \right) = 90
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Τρί Νοέμ 26, 2019 8:11 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11540
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Νοέμ 26, 2019 8:05 pm

Ωραία πράματα ! Αλλά γιατί διασκεδαστικά ;
Μέγιστο  εμβαδόν.png
Μέγιστο εμβαδόν.png (17.92 KiB) Προβλήθηκε 82 φορές
Θέτοντας : BS=x , άμεσα παίρνουμε : z=\sqrt{25-x^2} και t=\sqrt{100-x^2}

Ακόμη επειδή : y^2=121-z^2=121-(25-x^2}) , είναι τελικά : y=\sqrt{96+x^2} .

Συνεπώς : E(x)=\dfrac{1}{2}(x+\sqrt{96+x^2})(\sqrt{25-x^2}+\sqrt{100-x^2}) . Ποιο είναι το μέγιστο

αυτού του εμβαδού ; Θα είχε κανείς το κουράγιο , να το βρει με χρήση παραγώγων ; Δεν νομίζω :lol:

Τέλος πάντων , μπορείτε να βρείτε την ακτίνα του περικύκλου του τετραπλεύρου ;

Επειδή συζητήθηκε , δίνω και την προτεινόμενη αρχική ανάρτηση με τις παραπομπές .

Παράπονο : Το χρώμα του συνδέσμου είναι πολύ δυσδιάκριτο :cry:


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7131
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Νοέμ 26, 2019 8:26 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Νοέμ 26, 2019 8:05 pm
Ωραία πράματα ! Αλλά γιατί διασκεδαστικά ;Μέγιστο εμβαδόν.png

Θέτοντας : BS=x , άμεσα παίρνουμε : z=\sqrt{25-x^2} και t=\sqrt{100-x^2}

Ακόμη επειδή : y^2=121-z^2=121-(25-x^2}) , είναι τελικά : y=\sqrt{96+x^2} .

Συνεπώς : E(x)=\dfrac{1}{2}(x+\sqrt{96+x^2})(\sqrt{25-x^2}+\sqrt{100-x^2}) . Ποιο είναι το μέγιστο

αυτού του εμβαδού ; Θα είχε κανείς το κουράγιο , να το βρει με χρήση παραγώγων ; Δεν νομίζω :lol:

Τέλος πάντων , μπορείτε να βρείτε την ακτίνα του περικύκλου του τετραπλεύρου ;

Επειδή συζητήθηκε , δίνω και την προτεινόμενη αρχική ανάρτηση με τις παραπομπές .

Παράπονο : Το χρώμα του συνδέσμου είναι πολύ δυσδιάκριτο :cry:
Προς τον φίλτατο Θανάση ( Ο θεός να σε έχει καλά να μας βάζεις διασκεδαστικά " πράγματα"!)

α) το χρώμα ( και της όποιας παραπομπής) το καθορίζει έκαστος κατά τα γούστα του.

γ) Η ακτίνα δίδεται, συν τοις άλλοις, στην άσκηση 576 του Σπ. Κανέλλου ( Παλιού σχολικού Α λυκείου, έκδοση 1977)

β) Πιο πάνω όταν είναι ( όπως εδώ κάθετες οι διαγώνιοι ) η ακριβώς πιο πάνω-ημετέρα- λύση, σε καλύπτει?


Φιλικά Νίκος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης