Ώρα συνεφαπτομένης

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11707
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα συνεφαπτομένης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Δεκ 16, 2019 1:10 pm

Ώρα  συνεφαπτομένης.png
Ώρα συνεφαπτομένης.png (6.21 KiB) Προβλήθηκε 329 φορές
Στο τετράγωνο ABCD , το M είναι το μέσο της BC . Η διχοτόμος της \widehat{DMB} ,

τέμνει την πλευρά AB στο σημείο S . Υπολογίστε την : \cot\phi  , (  \phi=\widehat{MSB}) .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12413
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ώρα συνεφαπτομένης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Δεκ 16, 2019 1:27 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 16, 2019 1:10 pm
Ώρα συνεφαπτομένης.pngΣτο τετράγωνο ABCD , το M είναι το μέσο της BC . Η διχοτόμος της \widehat{DMB} ,

τέμνει την πλευρά AB στο σημείο S . Υπολογίστε την : \cot\phi  , (  \phi=\widehat{MSB}) .
\displaystyle{\cot \phi = \tan SMB = \tan \frac {DMB}{2} = \tan \frac {90 + CDM}{2} = \tan \left (45 +\frac {CDM}{2} \right ) = \dfrac {1 +\tan \dfrac {CDM}{2}  }{1-\tan \dfrac {CDM}{2} } }

και το \displaystyle{ \tan \frac {CDM}{2} } άμεσο από τον τύπο της μισής γωνίας από την \displaystyle{ \tan {CDM} =  \dfrac {1}{2} }. Αφήνω τις πράξεις ρουτίνας.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11707
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ώρα συνεφαπτομένης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Δεκ 16, 2019 2:20 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Δεκ 16, 2019 1:27 pm
Αφήνω τις πράξεις ρουτίνας.
Κι αν η "διασκέδαση" κρύβεται στις πράξεις ρουτίνας ;


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9573
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα συνεφαπτομένης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 16, 2019 2:46 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 16, 2019 1:10 pm
Ώρα συνεφαπτομένης.pngΣτο τετράγωνο ABCD , το M είναι το μέσο της BC . Η διχοτόμος της \widehat{DMB} ,

τέμνει την πλευρά AB στο σημείο S . Υπολογίστε την : \cot\phi  , (  \phi=\widehat{MSB}) .
Έστω 2a η πλευρά του τετραγώνου και ME η διχοτόμος του τριγώνου MCD.
Ώρα σφ.png
Ώρα σφ.png (9.76 KiB) Προβλήθηκε 306 φορές
Εύκολα \displaystyle C\widehat ME = \varphi και από θεώρημα διχοτόμου \displaystyle CE = \frac{{2{a^2}}}{{a(1 + \sqrt 5 )}} = \frac{a}{\Phi } \Leftrightarrow \frac{a}{{CE}} = \Phi  \Leftrightarrow \boxed{\cot \varphi  = \Phi }

φτάνει να μην μπερδέψουμε τα \displaystyle \Phi ,\varphi ,\phi :lol:


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7337
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα συνεφαπτομένης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Δεκ 16, 2019 3:53 pm

Ωρα συνεφαπτομένης.png
Ωρα συνεφαπτομένης.png (9.92 KiB) Προβλήθηκε 295 φορές
κάτι παρόμοιο με του Γιώργου.

Στο σχήμα KB = 1 \Rightarrow ME = \sqrt 5 \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BE = 2

Από την αρμονική αναλογία : \dfrac{{KE}}{{KB}} = \dfrac{{SE}}{{SB}} \Rightarrow \dfrac{{x + 2}}{x} = \sqrt 5  \Rightarrow x = \varphi  \Rightarrow \boxed{\cot \phi  = \varphi }


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12413
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ώρα συνεφαπτομένης

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Δεκ 16, 2019 6:44 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 16, 2019 2:20 pm

Κι αν η "διασκέδαση" κρύβεται στις πράξεις ρουτίνας ;
Σεβαστό. Έχω όμως άλλη φιλοσοφία για το τι συγκροτεί Διασκεδαστικά Μαθηματικά.

Για μένα Διασκεδαστικά Μαθηματικά είναι αυτό που ονομάζουμε Recreational Mathematics, με μία τεράστια παράδοση
που στον Δυτικό κόσμο ξεκινά με το Liber Abaci (1202) του Fibonacci και με εκπροσώπους όπως τον
Prevost, La Première partie des subtiles et plaisantes inventions (1584), τον Claude Gaspard Bachet de Méziriac,
Problèmes plaisants et délectables (1624), μετά Ozanam, Sam Loyd, Dudeney, Lewis Caroll, Kraitchik, Smullyan,
Gardner, Perelman και μύρια άλλα ονόματα.

Για εμένα το παραπάνω πρόβλημα είναι καθαρά Μαθηματικό. Το ότι η απάντηση περιέχει \phi ή \pi ή άλλη ωραία σταθερά, δεν είναι
από μόνη της επαρκής αιτιολογία για να χαρακτηριστεί ένα πρόβλημα ως Recreactional.

Ωραίο μεν το συγκεκριμένο πρόβλημα, αλλά άλλο καταλαβαίνω ως Διασκεδαστικό.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1289
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ώρα συνεφαπτομένης

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Δεκ 16, 2019 11:43 pm

Καλό βράδυ σε όλους. Έστω MB=1 . Θα δείξουμε ότι BS= \Phi , με χρήση του σχήματος
Ωρα σφ...PNG
Ωρα σφ...PNG (8.28 KiB) Προβλήθηκε 250 φορές
Το MHLO είναι .. :) .. ορθογώνιο. Έχουμε BS=\dfrac{BL}{cosx}=\dfrac{LH+HB}{cosx}=\dfrac{1+sinx}{cosx}=\dfrac{1}{cosx}+tanx.

Στο ορθ DMC είναι DM=\sqrt{5} οπότε \dfrac{1}{cosx}+tanx=\dfrac{\sqrt{5}}{2}+\dfrac{1}{2} και τελικά BS= \dfrac{ \sqrt{5}+1}{2}= \Phi.

\Phi ιλικά, Γιώργος.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1857
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ώρα συνεφαπτομένης

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Δεκ 17, 2019 2:07 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 16, 2019 1:10 pm
Ώρα συνεφαπτομένης.pngΣτο τετράγωνο ABCD , το M είναι το μέσο της BC . Η διχοτόμος της \widehat{DMB} ,

τέμνει την πλευρά AB στο σημείο S . Υπολογίστε την : \cot\phi  , (  \phi=\widehat{MSB}) .

Με DE \bot SM \Rightarrow DM=ME= \dfrac{a \sqrt{5} }{2} και cot \phi = \dfrac{CE}{CD} = \dfrac{ \dfrac{a \sqrt{5} }{2} + \dfrac{a}{2} }{a}= \dfrac{ \sqrt{5}+1 }{2}
ώρα συνεφαπτομένης.png
ώρα συνεφαπτομένης.png (13.95 KiB) Προβλήθηκε 208 φορές


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1896
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ώρα συνεφαπτομένης

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Δεκ 17, 2019 9:38 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 16, 2019 1:10 pm
Ώρα συνεφαπτομένης.pngΣτο τετράγωνο ABCD , το M είναι το μέσο της BC . Η διχοτόμος της \widehat{DMB} ,

τέμνει την πλευρά AB στο σημείο S . Υπολογίστε την : \cot\phi  , (  \phi=\widehat{MSB}) .


Απο το θεώρημα της διχοτόμου στο τρίγωνο DMB,PB=\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{5}+1},DP=\dfrac{a\sqrt{10}}{\sqrt{5}+1},
Στο τρίγωνο ADB, με τέμνουσα TSP,\dfrac{a-x}{x}.\dfrac{AT}{AT+a}.\dfrac{DP}{PB}=1\Leftrightarrow \dfrac{AT}{AT+a}=\dfrac{x.\sqrt{5}}{5(a-x)},(1),AS=x,
Από τα όμοια τρίγωνα

ATS,SMB,\dfrac{x}{a-x}=\dfrac{2AT}{a}\Leftrightarrow 
 
 AT=\dfrac{xa}{2(a-x)},(2), 
 
 (1),(2)\Rightarrow x=\dfrac{2\sqrt{5}-5}{\sqrt{5}-5}.a, cot\hat{MSB}=\dfrac{2(a-x)}{a}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}
Συνημμένα
Ωρα συνεφαπτομένης.png
Ωρα συνεφαπτομένης.png (55.9 KiB) Προβλήθηκε 142 φορές
τελευταία επεξεργασία από STOPJOHN σε Τετ Δεκ 18, 2019 8:44 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1289
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ώρα συνεφαπτομένης

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Δεκ 18, 2019 1:59 am

Καλημέρα! Μια ακόμη με χρήση του σχήματος
Ωρα σφ...ΙΙ PNG.PNG
Ωρα σφ...ΙΙ PNG.PNG (10.36 KiB) Προβλήθηκε 157 φορές
Φέρω DI \perp MS. Το DIMC είναι εγγράψιμο και από τις ίσες γωνίες \omega προκύπτει IC=ID.

Το Θ. Πτολεμαίου δίνει \sqrt{5}IC=2IM+ID\Leftrightarrow \left ( \sqrt{5} -1 \right )ID=2IM.

Τότε cot\varphi =tan\omega =\dfrac{ID}{IM}=\dfrac{2}{\sqrt{5} -1}=\Phi .

Αν δείτε αριστερά ,πάνω από το όνομά μου , είναι .. :) .. OA=2 και OB=\sqrt{5} -1 ... \Phi ιλικά, Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: llenny και 1 επισκέπτης