Ακέραιος ανάμεσα σε κλάσματα και αρρήτους

KARKAR · #1

Βρείτε τον θετικό ακέραιο

, ώστε το : $\displaystyle \int_{n}^{3n+1}(x+n)(\sqrt{x-n})dx$

να έχει επίσης ακέραια τιμή . Απαιτείται κάποιου είδους αιτιολόγηση

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Δεκ 27, 2019 7:53 pm Βρείτε τον θετικό ακέραιο , ώστε το : $\displaystyle \int_{n}^{3n+1}(x+n)(\sqrt{x-n})dx$

να έχει επίσης ακέραια τιμή . Απαιτείται κάποιου είδους αιτιολόγηση

$\displaystyle{\displaystyle \int_{n}^{3n+1}(x+n)(\sqrt{x-n})dx = \displaystyle \int_{0}^{2n+1}(y+2n)(\sqrt{y})dy = ...= \dfrac {1}{15}(64n^2+44n+6)\sqrt {2n+1}= }$

$\displaystyle{=\dfrac {2}{15}(2n+1)(16n+3)\sqrt {2n+1}}$

Πρέπει πρώτ' απ' όλα 2n+1=

τέλειο τετράγωνο (εννοείται περιττού), οπότε 2n+1=(2m+1)^2

ή αλλιώς

.

Βάζουμε αυτό το

πίσω στην παράσταση. Θα πάρει την μορφή

$\displaystyle{ \dfrac {2}{15}(4m(m+1)+1)(32m(m+1)+3)(2m+1)}$

Έχουμε άπειρες τιμές του

που ο αριθμητής είναι πολλαπλάσιο του

. Π,χ. όταν ο τελευταίος παράγοντας 2m+1

είναι πολλαπλάσιο του

. Ένα παράδειγμα ο m=7

, άλλο ο

και λοιπά.

KARKAR · #3

Ωραία αντιμετώπιση

. Μας κάνει και το m=2 , (n=12)

γιατί βγάζει πολλαπλάσιο του

στην δεύτερη παρένθεση και

στο ριζικό ...

Ακέραιος ανάμεσα σε κλάσματα και αρρήτους

Ακέραιος ανάμεσα σε κλάσματα και αρρήτους

Re: Ακέραιος ανάμεσα σε κλάσματα και αρρήτους

Re: Ακέραιος ανάμεσα σε κλάσματα και αρρήτους

Μέλη σε σύνδεση