Γρήγορη μεγιστοποίηση

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11547
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Γρήγορη μεγιστοποίηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Φεβ 01, 2020 8:23 pm

Γρήγορη  μεγιστοποίηση.png
Γρήγορη μεγιστοποίηση.png (5.42 KiB) Προβλήθηκε 156 φορές
Ημιευθεία με αρχή το S τέμνει την υποτείνουσα BC και την κάθετη πλευρά AC του

- τύπου 3-4-5 - ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC στα σημεία P , T αντίστοιχα .

Αν έχετε λίγο χρόνο , υπολογίστε την μέγιστη τιμή του γινομένου : SP \cdot PT



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 146
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Γρήγορη μεγιστοποίηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Σάβ Φεβ 01, 2020 9:54 pm

Μήπως είναι περίπου 12.463 ;


Καλό Καλοκαίρι!
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9204
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γρήγορη μεγιστοποίηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Φεβ 02, 2020 11:50 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Φεβ 01, 2020 8:23 pm
Γρήγορη μεγιστοποίηση.pngΗμιευθεία με αρχή το S τέμνει την υποτείνουσα BC και την κάθετη πλευρά AC του

- τύπου 3-4-5 - ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC στα σημεία P , T αντίστοιχα .

Αν έχετε λίγο χρόνο , υπολογίστε την μέγιστη τιμή του γινομένου : SP \cdot PT
Έστω D η προβολή του P στην AB και AT=x, PD=y.
Αργή μεγιστοποίηση.png
Αργή μεγιστοποίηση.png (7.99 KiB) Προβλήθηκε 72 φορές
\displaystyle BD = \frac{{4y}}{3} και \displaystyle \frac{y}{x} = \frac{{3 + \frac{{4y}}{3}}}{7} \Leftrightarrow \frac{y}{x} = \frac{9}{{21 - 4x}} = \frac{{SP}}{{ST}} = \frac{{SP}}{{\sqrt {{x^2} + 49} }} \Leftrightarrow SP = \frac{{9\sqrt {{x^2} + 49} }}{{21 - 4x}}

Εύκολα τώρα \displaystyle PT = \sqrt {{x^2} + 49}  - SP = \frac{{4(3 - x)\sqrt {{x^2} + 49} }}{{21 - 4x}}, απ' όπου παίρνω:

\boxed{f(x) = SP \cdot PT = \frac{{36(3 - x)({x^2} + 49)}}{{{{(21 - 4x)}^2}}},0 < x < 3} με \displaystyle f'(x) = \frac{{36(4{x^3} - 63{x^2} - 70x + 147)}}{{{{(21 - 4x)}^3}}}

Από εδώ και πέρα το Wolfram|Alpha δίνει μέγιστο \boxed{{(SP \cdot PT)_{\max }} \simeq 12,463} για \boxed{x \simeq 1,0953}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης