Γρήγορη μεγιστοποίηση

KARKAR · #1

: Γρήγορη μεγιστοποίηση.png (5.42 KiB) Προβλήθηκε 453 φορές

Ημιευθεία με αρχή το

τέμνει την υποτείνουσα

και την κάθετη πλευρά

του

- τύπου 3-4-5

- ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ στα σημεία P , T

αντίστοιχα .

Αν έχετε λίγο χρόνο , υπολογίστε την μέγιστη τιμή του γινομένου : $SP \cdot PT$

angvl · #2

Μήπως είναι περίπου 12.463

;

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 01, 2020 8:23 pm
Γρήγορη μεγιστοποίηση.pngΗμιευθεία με αρχή το τέμνει την υποτείνουσα και την κάθετη πλευρά του

- τύπου - ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ στα σημεία αντίστοιχα .

Αν έχετε λίγο χρόνο , υπολογίστε την μέγιστη τιμή του γινομένου : $SP \cdot PT$

Έστω

η προβολή του

στην

και

: Αργή μεγιστοποίηση.png (7.99 KiB) Προβλήθηκε 369 φορές

$\displaystyle BD = \frac{{4y}}{3}$ και $\displaystyle \frac{y}{x} = \frac{{3 + \frac{{4y}}{3}}}{7} \Leftrightarrow \frac{y}{x} = \frac{9}{{21 - 4x}} = \frac{{SP}}{{ST}} = \frac{{SP}}{{\sqrt {{x^2} + 49} }} \Leftrightarrow SP = \frac{{9\sqrt {{x^2} + 49} }}{{21 - 4x}}$

Εύκολα τώρα $\displaystyle PT = \sqrt {{x^2} + 49} - SP = \frac{{4(3 - x)\sqrt {{x^2} + 49} }}{{21 - 4x}},$ απ' όπου παίρνω:

$\boxed{f(x) = SP \cdot PT = \frac{{36(3 - x)({x^2} + 49)}}{{{{(21 - 4x)}^2}}},0 < x < 3}$ με $\displaystyle f'(x) = \frac{{36(4{x^3} - 63{x^2} - 70x + 147)}}{{{{(21 - 4x)}^3}}}$

Από εδώ και πέρα το Wolfram|Alpha δίνει μέγιστο $\boxed{{(SP \cdot PT)_{\max }} \simeq 12,463}$ για $\boxed{x \simeq 1,0953}$

Γρήγορη μεγιστοποίηση

Γρήγορη μεγιστοποίηση

Re: Γρήγορη μεγιστοποίηση

Re: Γρήγορη μεγιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση