Δύναμη του 2

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 325
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Δύναμη του 2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Δευ Μαρ 02, 2020 5:19 pm

Να βρείτε την μικρότερη τιμή του θετικού ακέραιου \displaystyle n για την οποία η \displaystyle 2^n περιέχει όλες τις τιμές \displaystyle 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, από μια τουλάχιστον φορά. :idea:



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12132
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Δύναμη του 2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Μαρ 03, 2020 7:55 am

mick7 έγραψε:
Δευ Μαρ 02, 2020 5:19 pm
Να βρείτε την μικρότερη τιμή του θετικού ακέραιου \displaystyle n για την οποία η \displaystyle 2^n περιέχει όλες τις τιμές \displaystyle 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, από μια τουλάχιστον φορά. :idea:
Για να κλείνει:

Διασκεδαστικά Μαθηματικά; Όχι βέβαια!

Αντιθέτως κατατάσσω την άσκηση στα άκρως βαρετά Μαθηματικά.

Για την λύση δεν έχουμε παρά να σαρώσουμε τις δυνάμεις του 2 αρχίζοντας από το 2^{30} = (2^{10})^3 \approx 1000^3=10^9 αφού θέλουμε ο αριθμός να είναι τουλάχιστον δεκαψήφιος. Εδώ τελειώνει η διασκέδαση. Από κει και πέρα αρχίζει η ανιαρή η χειρωνακτική εργασία. Ευτυχώς έχουμε τα κομπιούτερ (οπότε διασκεδάζει ο υπολογιστής, όχι εμείς) και με προγραμματάκι βρήκα ότι η πρώτη φορά που έχουμε και τα δέκα ψηφία είναι στον 2^{68}


2^30
1073741824
2^31
2147483648
2^32
4294967296
2^33
8589934592
2^34
17179869184
2^35
34359738368
2^36
68719476736
2^37
137438953472
2^38
274877906944
2^39
549755813888
2^40
1099511627776
2^41
2199023255552
2^42
4398046511104
2^43
8796093022208
2^44
17592186044416
2^45
35184372088832
2^46
70368744177664
2^47
140737488355328
2^48
281474976710656
2^49
562949953421312
2^50
1125899906842624
2^51
2251799813685248
2^52
4503599627370496
2^53
9007199254740992
2^54
18014398509481984
2^55
36028797018963968
2^56
72057594037927936
2^57
144115188075855872
2^58
288230376151711744
2^59
576460752303423488
2^60
1152921504606846976
2^61
2305843009213693952
2^62
4611686018427387904
2^63
9223372036854775808
2^64
18446744073709551616
2^65
36893488147419103232
2^66
73786976294838206464
2^67
147573952589676412928
2^68
295147905179352825856


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2775
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Δύναμη του 2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τρί Μαρ 03, 2020 8:32 am

Αν θυμάμαι σωστά ... κάποτε έδωσαν ένα πιο 'ανθρώπινο' πρόβλημα στον πρώτο υπολογιστή που κατασκευάστηκε και στον εκ των κατασκευαστών του John von Neuman, ποια είναι δηλαδή η πρώτη δύναμις του 2 που περιέχει το 7 ως ψηφίο ... και ο μεγάλος μαθηματικός και πανεπιστήμονας το βρήκε πρώτος!

[Τώρα τι σήμαινε ΤΟΤΕ "δίνω το πρόβλημα στον υπολογιστή" και πόσο χρόνο έπαιρνε αυτό, κλπ κλπ κλπ ...]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3013
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Δύναμη του 2

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Μαρ 04, 2020 1:30 pm

Υπάρχει κάτι εντυπωσιακό.
Εστω a_{1},a_{2},....a_{m}\in \left \{ 0,1,2,...9 \right \},a_{1}\neq 0

Να δειχθεί ότι υπάρχει φυσικός n και φυσικός r ώστε

2^{n}=(a_{1}a_{2}......a_{r})_{10},r\geq m.

Δηλαδή οι δυνάμεις 2^{n} όταν γραφούν στο δεκαδικό σύστημα μπορούν να έχουν αρχικά ψηφία όποια θέλουμε.


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Δύναμη του 2

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Μαρ 04, 2020 2:42 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Μαρ 04, 2020 1:30 pm
Υπάρχει κάτι εντυπωσιακό.
Εστω a_{1},a_{2},....a_{m}\in \left \{ 0,1,2,...9 \right \},a_{1}\neq 0

Να δειχθεί ότι υπάρχει φυσικός n και φυσικός r ώστε

2^{n}=(a_{1}a_{2}......a_{r})_{10},r\geq m.

Δηλαδή οι δυνάμεις 2^{n} όταν γραφούν στο δεκαδικό σύστημα μπορούν να έχουν αρχικά ψηφία όποια θέλουμε.
Πράγματι εντυπωσιακό!!
Η απόδειξη που γνωρίζω στηρίζεται στο Kronecker's Approximation Theorem

Υπάρχει άλλη;


Θανάσης Κοντογεώργης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3013
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Δύναμη του 2

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Μαρ 04, 2020 5:09 pm

socrates έγραψε:
Τετ Μαρ 04, 2020 2:42 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Μαρ 04, 2020 1:30 pm
Υπάρχει κάτι εντυπωσιακό.
Εστω a_{1},a_{2},....a_{m}\in \left \{ 0,1,2,...9 \right \},a_{1}\neq 0

Να δειχθεί ότι υπάρχει φυσικός n και φυσικός r ώστε

2^{n}=(a_{1}a_{2}......a_{r})_{10},r\geq m.

Δηλαδή οι δυνάμεις 2^{n} όταν γραφούν στο δεκαδικό σύστημα μπορούν να έχουν αρχικά ψηφία όποια θέλουμε.
Πράγματι εντυπωσιακό!!
Η απόδειξη που γνωρίζω στηρίζεται στο Kronecker's Approximation Theorem

Υπάρχει άλλη;
Όχι αυτή είναι η απόδειξη ,που τουλάχιστον εγώ γνωρίζω.
Εκείνο που δεν ήξερα είναι το ότι αν a άρρητος τότε τα na mod1 είναι πυκνά στο [0,1]
έχει όνομα και μάλιστα βαρύ.
Το γνωρίζω από φοιτητής μιας και είναι άσκηση στο Mathematical Analysis του T.Apostol

Συμπλήρωμα.

https://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker%27s_theorem

https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet ... on_theorem


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3013
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Δύναμη του 2

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Μαρ 04, 2020 5:44 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Μαρ 04, 2020 1:30 pm
Υπάρχει κάτι εντυπωσιακό.
Εστω a_{1},a_{2},....a_{m}\in \left \{ 0,1,2,...9 \right \},a_{1}\neq 0

Να δειχθεί ότι υπάρχει φυσικός n και φυσικός r ώστε

2^{n}=(a_{1}a_{2}......a_{r})_{10},r\geq m.

Δηλαδή οι δυνάμεις 2^{n} όταν γραφούν στο δεκαδικό σύστημα μπορούν να έχουν αρχικά ψηφία όποια θέλουμε.
Για την απόδειξη
https://eigen-space.org/mk/my-problems.php

11 Ιουνίου 2011.
Στα σχόλια.


Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 325
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Δύναμη του 2

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Πέμ Μαρ 05, 2020 9:26 am

Κάποιες εντολές στο Mathematica σχετικές με το ζητούμενο.
Η πρώτη

Κώδικας: Επιλογή όλων

Table[DeleteDuplicates[Sort[IntegerDigits[2^i]]], {i, 1, 68}]
δημιουργεί μια λίστα των ψηφίων των δυνάμεων του 2^i δηλαδή υπολογίζει ποια μοναδικά ψηφία είναι σε κάθε δύναμη του 2^i.
Η δεύτερη

Κώδικας: Επιλογή όλων

DeleteDuplicates[Sort[IntegerDigits[34586837373747886818283]]]
(στην ουσία η πρώτη χωρίς την εντολή Table)υπολογίζει πόσα μοναδικά ψηφία συμμετέχουν στον αριθμό.

Εικόνα


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8390
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Δύναμη του 2

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Μαρ 05, 2020 1:48 pm

socrates έγραψε:
Τετ Μαρ 04, 2020 2:42 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Μαρ 04, 2020 1:30 pm
Υπάρχει κάτι εντυπωσιακό.
Εστω a_{1},a_{2},....a_{m}\in \left \{ 0,1,2,...9 \right \},a_{1}\neq 0

Να δειχθεί ότι υπάρχει φυσικός n και φυσικός r ώστε

2^{n}=(a_{1}a_{2}......a_{r})_{10},r\geq m.

Δηλαδή οι δυνάμεις 2^{n} όταν γραφούν στο δεκαδικό σύστημα μπορούν να έχουν αρχικά ψηφία όποια θέλουμε.
Πράγματι εντυπωσιακό!!
Η απόδειξη που γνωρίζω στηρίζεται στο Kronecker's Approximation Theorem

Υπάρχει άλλη;
Μπορεί επίσης να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας το ισχυρότερο Weyl's Equidistribution Theorem. Μας δίνει μάλιστα πόσες δυνάμεις του 2 αναμένουμε να αρχίζουν από κάθε ψηφίο. (Π.χ. μπορούμε να δείξουμε ότι (με την κατάλληλη ερμηνεία) πάνω από 30\% των δυνάμεων του 2 ξεκινούν από 1.)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες