Δύναμη του 2
Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος
Δύναμη του 2
Να βρείτε την μικρότερη τιμή του θετικού ακέραιου για την οποία η περιέχει όλες τις τιμές από μια τουλάχιστον φορά.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Δύναμη του 2
Για να κλείνει:
Διασκεδαστικά Μαθηματικά; Όχι βέβαια!
Αντιθέτως κατατάσσω την άσκηση στα άκρως βαρετά Μαθηματικά.
Για την λύση δεν έχουμε παρά να σαρώσουμε τις δυνάμεις του αρχίζοντας από το αφού θέλουμε ο αριθμός να είναι τουλάχιστον δεκαψήφιος. Εδώ τελειώνει η διασκέδαση. Από κει και πέρα αρχίζει η ανιαρή η χειρωνακτική εργασία. Ευτυχώς έχουμε τα κομπιούτερ (οπότε διασκεδάζει ο υπολογιστής, όχι εμείς) και με προγραμματάκι βρήκα ότι η πρώτη φορά που έχουμε και τα δέκα ψηφία είναι στον
2^30
1073741824
2^31
2147483648
2^32
4294967296
2^33
8589934592
2^34
17179869184
2^35
34359738368
2^36
68719476736
2^37
137438953472
2^38
274877906944
2^39
549755813888
2^40
1099511627776
2^41
2199023255552
2^42
4398046511104
2^43
8796093022208
2^44
17592186044416
2^45
35184372088832
2^46
70368744177664
2^47
140737488355328
2^48
281474976710656
2^49
562949953421312
2^50
1125899906842624
2^51
2251799813685248
2^52
4503599627370496
2^53
9007199254740992
2^54
18014398509481984
2^55
36028797018963968
2^56
72057594037927936
2^57
144115188075855872
2^58
288230376151711744
2^59
576460752303423488
2^60
1152921504606846976
2^61
2305843009213693952
2^62
4611686018427387904
2^63
9223372036854775808
2^64
18446744073709551616
2^65
36893488147419103232
2^66
73786976294838206464
2^67
147573952589676412928
2^68
295147905179352825856
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Δύναμη του 2
Αν θυμάμαι σωστά ... κάποτε έδωσαν ένα πιο 'ανθρώπινο' πρόβλημα στον πρώτο υπολογιστή που κατασκευάστηκε και στον εκ των κατασκευαστών του John von Neuman, ποια είναι δηλαδή η πρώτη δύναμις του 2 που περιέχει το 7 ως ψηφίο ... και ο μεγάλος μαθηματικός και πανεπιστήμονας το βρήκε πρώτος!
[Τώρα τι σήμαινε ΤΟΤΕ "δίνω το πρόβλημα στον υπολογιστή" και πόσο χρόνο έπαιρνε αυτό, κλπ κλπ κλπ ...]
[Τώρα τι σήμαινε ΤΟΤΕ "δίνω το πρόβλημα στον υπολογιστή" και πόσο χρόνο έπαιρνε αυτό, κλπ κλπ κλπ ...]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Δύναμη του 2
Υπάρχει κάτι εντυπωσιακό.
Εστω
Να δειχθεί ότι υπάρχει φυσικός και φυσικός ώστε
.
Δηλαδή οι δυνάμεις όταν γραφούν στο δεκαδικό σύστημα μπορούν να έχουν αρχικά ψηφία όποια θέλουμε.
Εστω
Να δειχθεί ότι υπάρχει φυσικός και φυσικός ώστε
.
Δηλαδή οι δυνάμεις όταν γραφούν στο δεκαδικό σύστημα μπορούν να έχουν αρχικά ψηφία όποια θέλουμε.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Δύναμη του 2
Πράγματι εντυπωσιακό!!ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τετ Μαρ 04, 2020 1:30 pmΥπάρχει κάτι εντυπωσιακό.
Εστω
Να δειχθεί ότι υπάρχει φυσικός και φυσικός ώστε
.
Δηλαδή οι δυνάμεις όταν γραφούν στο δεκαδικό σύστημα μπορούν να έχουν αρχικά ψηφία όποια θέλουμε.
Η απόδειξη που γνωρίζω στηρίζεται στο Kronecker's Approximation Theorem
Υπάρχει άλλη;
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Δύναμη του 2
Όχι αυτή είναι η απόδειξη ,που τουλάχιστον εγώ γνωρίζω.socrates έγραψε: ↑Τετ Μαρ 04, 2020 2:42 pmΠράγματι εντυπωσιακό!!ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τετ Μαρ 04, 2020 1:30 pmΥπάρχει κάτι εντυπωσιακό.
Εστω
Να δειχθεί ότι υπάρχει φυσικός και φυσικός ώστε
.
Δηλαδή οι δυνάμεις όταν γραφούν στο δεκαδικό σύστημα μπορούν να έχουν αρχικά ψηφία όποια θέλουμε.
Η απόδειξη που γνωρίζω στηρίζεται στο Kronecker's Approximation Theorem
Υπάρχει άλλη;
Εκείνο που δεν ήξερα είναι το ότι αν άρρητος τότε τα mod1 είναι πυκνά στο
έχει όνομα και μάλιστα βαρύ.
Το γνωρίζω από φοιτητής μιας και είναι άσκηση στο Mathematical Analysis του T.Apostol
Συμπλήρωμα.
https://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker%27s_theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet ... on_theorem
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Δύναμη του 2
Για την απόδειξηΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τετ Μαρ 04, 2020 1:30 pmΥπάρχει κάτι εντυπωσιακό.
Εστω
Να δειχθεί ότι υπάρχει φυσικός και φυσικός ώστε
.
Δηλαδή οι δυνάμεις όταν γραφούν στο δεκαδικό σύστημα μπορούν να έχουν αρχικά ψηφία όποια θέλουμε.
https://eigen-space.org/mk/my-problems.php
11 Ιουνίου 2011.
Στα σχόλια.
Re: Δύναμη του 2
Κάποιες εντολές στο Mathematica σχετικές με το ζητούμενο.
Η πρώτη δημιουργεί μια λίστα των ψηφίων των δυνάμεων του 2^i δηλαδή υπολογίζει ποια μοναδικά ψηφία είναι σε κάθε δύναμη του 2^i.
Η δεύτερη (στην ουσία η πρώτη χωρίς την εντολή Table)υπολογίζει πόσα μοναδικά ψηφία συμμετέχουν στον αριθμό.
Η πρώτη
Κώδικας: Επιλογή όλων
Table[DeleteDuplicates[Sort[IntegerDigits[2^i]]], {i, 1, 68}]
Η δεύτερη
Κώδικας: Επιλογή όλων
DeleteDuplicates[Sort[IntegerDigits[34586837373747886818283]]]
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Δύναμη του 2
Μπορεί επίσης να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας το ισχυρότερο Weyl's Equidistribution Theorem. Μας δίνει μάλιστα πόσες δυνάμεις του αναμένουμε να αρχίζουν από κάθε ψηφίο. (Π.χ. μπορούμε να δείξουμε ότι (με την κατάλληλη ερμηνεία) πάνω από των δυνάμεων του ξεκινούν από .)socrates έγραψε: ↑Τετ Μαρ 04, 2020 2:42 pmΠράγματι εντυπωσιακό!!ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τετ Μαρ 04, 2020 1:30 pmΥπάρχει κάτι εντυπωσιακό.
Εστω
Να δειχθεί ότι υπάρχει φυσικός και φυσικός ώστε
.
Δηλαδή οι δυνάμεις όταν γραφούν στο δεκαδικό σύστημα μπορούν να έχουν αρχικά ψηφία όποια θέλουμε.
Η απόδειξη που γνωρίζω στηρίζεται στο Kronecker's Approximation Theorem
Υπάρχει άλλη;
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες