Αλλαγή τοποθέτησης

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11549
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Αλλαγή τοποθέτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Μαρ 28, 2020 1:38 pm

Αλλαγή  τοποθέτησης.png
Αλλαγή τοποθέτησης.png (10.55 KiB) Προβλήθηκε 168 φορές
Βρίσκεστε στον αριστερό κλάδο της παραβολής : y=x^2 και αποφασίζετε να μεταβείτε

στον δεξιό αλλά με το λιγότερο "κόστος" . Ποιο είναι το ελάχιστο του τμήματος AB ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9208
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Αλλαγή τοποθέτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μαρ 28, 2020 5:51 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Μαρ 28, 2020 1:38 pm
Αλλαγή τοποθέτησης.pngΒρίσκεστε στον αριστερό κλάδο της παραβολής : y=x^2 και αποφασίζετε να μεταβείτε

στον δεξιό αλλά με το λιγότερο "κόστος" . Ποιο είναι το ελάχιστο του τμήματος AB ;
Αλλαγή τοποθέτησης.png
Αλλαγή τοποθέτησης.png (10.41 KiB) Προβλήθηκε 148 φορές
\displaystyle AB = \sqrt {{{(x + 2)}^2} + {{({x^2} - 4)}^2}}  = \sqrt {{x^4} - 7{x^2} + 4x + 20}

Αν \displaystyle f(x) = {x^4} - 7{x^2} + 4x + 20, τότε \displaystyle f'(x) = 2(2{x^3} - 7x + 2) = 2(x + 2)(2{x^2} - 4x + 1).

Από τις τιμές που μηδενίζουν την f', αυτή που μας ενδιαφέρει είναι η \displaystyle {x_0} = 1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} και \boxed{{(AB)_{\min }} = \frac{{\sqrt {71 - 8\sqrt 2 } }}{2}}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4597
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Αλλαγή τοποθέτησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Μαρ 28, 2020 7:13 pm

Καλησπέρα σε όλους. Θα ήθελα την άποψή σας για την εξής αντιμετώπιση:

28-03-2020 Γεωμετρία b.png
28-03-2020 Γεωμετρία b.png (23.83 KiB) Προβλήθηκε 121 φορές

Φέρνουμε την εφαπτομένη (e) της παραβολής στο B(x_0, x_0^2), x_0 >0 και την AE κάθετη στην (e). Αφού η καμπύλη είναι κυρτή, η εφαπτομένη είναι κάτω από την καμπύλη, άρα η AE τέμνει το δεξί τμήμα της καμπύλης σε σημείο K, ώστε AE \ge AK, με το ίσον όταν ταυτίζονται τα B, E.

Τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο AEB είναι AB \ge AE \ge AK, με το ίσον, όταν ταυτίζονται τα B, E.

Αυτό συμβαίνει όταν  \displaystyle{\lambda _{{\rm A}{\rm B}}} \cdot 2{x_0} =  - 1 \Leftrightarrow \left( {{x_0} - 2} \right) \cdot 2{x_0} =  - 1 \Leftrightarrow {x_0} = \frac{{2 \pm \sqrt 2 }}{2} .
Για  \displaystyle{x_0} = \frac{{\sqrt 2  + 1}}{2} έχουμε το ελάχιστο (και για  \displaystyle x_0 = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{2} ένα τοπικό μέγιστο).


edit:

Προτροπή: Δείτε το κρυφό κείμενο αφού ασχοληθείτε με το θέμα.
Έγραψα παραπάνω ότι ζητώ γνώμες γιατί περιγράφω μια εποπτική εικασία, εφόσον ούτε σταθερό κάτω άκρο της ανισότητας έχουμε, ούτε έχουμε εξασφαλίσει ότι οι μεταβλητές, που δίνουν τις τιμές των τμημάτων, διατρέχουν όλο το διάστημα. Αυτό ίσως να καλύπτεται από κάποια θεωρία, εφόσον όταν χρησιμοποιούμε συναρτήσεις τους δίνουμε ως Π.Ο. διάστημα.
Θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί ως διατύπωση εικασίας με τη χρήση ενός μεταβλητού σχήματος με λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας και να ακολουθήσει απόδειξη.
Ευχαριστώ τον Χρήστο Νταβά που ασχολήθηκε με το θέμα και τον Σταύρο Παπαδόπουλο (σε αντίστοιχη συζήτηση) για τις διακριτικές υποδείξεις τους με Π.Μ. Η πρόσθετη αξία του :logo: είναι η ανταλλαγή γνώσεων, απόψεων και η συνεχής τριβή με νέα (για κάποιους από εμάς) αντικείμενα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης