Εξίσωση

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 415
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Δευ Μάιος 18, 2020 6:07 pm

Να λυθεί στους πραγματικούς

\displaystyle \sqrt{1+x}+\sqrt{1+2x^2}+\sqrt{1+3x^3}+...\sqrt{1+2021x^{2021}}=\sqrt{1+\frac{1}{x}}+\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{3}{x^3}}+...+\sqrt{1+\frac{2021}{x^{2021}}}



Λέξεις Κλειδιά:
4ptil
Δημοσιεύσεις: 34
Εγγραφή: Πέμ Απρ 02, 2020 10:57 pm
Τοποθεσία: Σέρρες

Re: Εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 4ptil » Δευ Μάιος 18, 2020 7:52 pm

Καλησπέρα, είναι x> -1
και \sum_{n=1}^{2021}\sqrt{1+nx^n} 
=\sum_{n=1}^{2021}\sqrt{1+\frac{n}{x^n}} παρατηρούμε ότι μια λύση είναι η x= 1. Τώρα θα δείξουμε ότι αυτή είναι η μόνη λύση. Για x\in (-1,0)\cup (1,\propto )

έχω \begin{Bmatrix} x> \frac{1}{x}\\ 2x^2> \frac{2}{x^2}\\ \cdots \\ 2021x^{2021}> \frac{2021}{x^{2021}}\\ \end{Bmatrix}\Leftrightarrow \begin{Bmatrix} \sqrt{1+x}> \sqrt{1+\frac{1}{x}}\\ \sqrt{1+2x^2}> \sqrt{1+\frac{2}{x^2}}\\ \cdots \\ \sqrt{1+2021x^{2021}}> \sqrt{1+\frac{2021}{x^{2021}}}\\ \end{Bmatrix}.Έπεται \sum_{n=1}^{2021}\sqrt{1+nx^n}> \sum_{n=1}^{2021}\sqrt{1+\frac{n}{x^n}} και ακολουθώντας την ίδια διαδικασία για x\in (0,1)
παίρνουμε\sum_{n=1}^{2021}\sqrt{1+nx^n}< \sum_{n=1}^{2021}\sqrt{1+\frac{n}{x^n}} επομένως x=  1
τελευταία επεξεργασία από 4ptil σε Τρί Μάιος 19, 2020 1:59 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9678
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μάιος 19, 2020 12:56 am

4ptil έγραψε:
Δευ Μάιος 18, 2020 7:52 pm
Καλησπέρα, είναι x\neq 0 και \sum_{n=1}^{2021}\sqrt{1+nx^n} 
=\sum_{n=1}^{2021}\sqrt{1+\frac{n}{x^n}} παρατηρούμε ότι δύο λύσεις είναι οι x=\pm 1. Τώρα θα δείξουμε ότι αυτές είναι οι μόνες λύσεις. Για x\in (-1,0)\cup (1,+\propto)
έχω \begin{Bmatrix} x> \frac{1}{x}\\ 2x^2> \frac{2}{x^2}\\ \cdots \\ 2021x^{2021}> \frac{2021}{x^{2021}}\\ \end{Bmatrix}\Leftrightarrow \begin{Bmatrix} \sqrt{1+x}> \sqrt{1+\frac{1}{x}}\\ \sqrt{1+2x^2}> \sqrt{1+\frac{2}{x^2}}\\ \cdots \\ \sqrt{1+2021x^{2021}}> \sqrt{1+\frac{2021}{x^{2021}}}\\ \end{Bmatrix}.Έπεται \sum_{n=1}^{2021}\sqrt{1+nx^n}> \sum_{n=1}^{2021}\sqrt{1+\frac{n}{x^n}} και ακολουθώντας την ίδια διαδικασία για x\in (-\propto ,-1)\cup (0,1)
παίρνουμε\sum_{n=1}^{2021}\sqrt{1+nx^n}< \sum_{n=1}^{2021}\sqrt{1+\frac{n}{x^n}} επομένως x= \pm 1
edit: Μπορούμε εξ' αρχής να πούμε ότι x\geq -1 αφού λύνουμε στο \mathbb{R}
Ορίζεται η εξίσωση για x=-1;


4ptil
Δημοσιεύσεις: 34
Εγγραφή: Πέμ Απρ 02, 2020 10:57 pm
Τοποθεσία: Σέρρες

Re: Εξίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από 4ptil » Τρί Μάιος 19, 2020 1:47 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Μάιος 19, 2020 12:56 am
4ptil έγραψε:
Δευ Μάιος 18, 2020 7:52 pm
Καλησπέρα, είναι x\neq 0 και \sum_{n=1}^{2021}\sqrt{1+nx^n} 
=\sum_{n=1}^{2021}\sqrt{1+\frac{n}{x^n}} παρατηρούμε ότι δύο λύσεις είναι οι x=\pm 1. Τώρα θα δείξουμε ότι αυτές είναι οι μόνες λύσεις. Για x\in (-1,0)\cup (1,+\propto)
έχω \begin{Bmatrix} x> \frac{1}{x}\\ 2x^2> \frac{2}{x^2}\\ \cdots \\ 2021x^{2021}> \frac{2021}{x^{2021}}\\ \end{Bmatrix}\Leftrightarrow \begin{Bmatrix} \sqrt{1+x}> \sqrt{1+\frac{1}{x}}\\ \sqrt{1+2x^2}> \sqrt{1+\frac{2}{x^2}}\\ \cdots \\ \sqrt{1+2021x^{2021}}> \sqrt{1+\frac{2021}{x^{2021}}}\\ \end{Bmatrix}.Έπεται \sum_{n=1}^{2021}\sqrt{1+nx^n}> \sum_{n=1}^{2021}\sqrt{1+\frac{n}{x^n}} και ακολουθώντας την ίδια διαδικασία για x\in (-\propto ,-1)\cup (0,1)
παίρνουμε\sum_{n=1}^{2021}\sqrt{1+nx^n}< \sum_{n=1}^{2021}\sqrt{1+\frac{n}{x^n}} επομένως x= \pm 1
edit: Μπορούμε εξ' αρχής να πούμε ότι x\geq -1 αφού λύνουμε στο \mathbb{R}
Ορίζεται η εξίσωση για x=-1;
Έχετε δίκιο αφού λόγω των περιττών δυνάμεων προκύπτουν αρνητικές υπόριζες ποσότητες :oops:. Όσο μπορώ θα το διορθώσω τώρα :lol:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες