Εξίσωση

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 415
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Τετ Ιουν 10, 2020 2:40 pm

Να λυθεί στο \displaystyle (0,+\infty) η

\displaystyle (lnx)^2+(1+x^2)(lnx)+2x^2-2=0



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 724
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τετ Ιουν 10, 2020 2:59 pm

mick7 έγραψε:
Τετ Ιουν 10, 2020 2:40 pm
Να λυθεί στο \displaystyle (0,+\infty) η

\displaystyle (lnx)^2+(1+x^2)(lnx)+2x^2-2=0
Είναι οι x=e^{-2} και x=1.

Θεωρώντας το αριστερό μέλος σαν τριώνυμο ως προς \ln x βρίσκουμε \Delta =(x^2-3)^2 και οδηγούμαστε στις

\ln x=-2 και \ln x=1-x^2. H πρώτη μας δίνει x=e^{-2} ενώ η δεύτερη μας δίνει μοναδική ρίζα την x=1

αφού η παράγωγος της \ln x-1+x^2 είναι θετική στο (0,+\infty).


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9678
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιουν 10, 2020 5:22 pm

mick7 έγραψε:
Τετ Ιουν 10, 2020 2:40 pm
Να λυθεί στο \displaystyle (0,+\infty) η

\displaystyle (lnx)^2+(1+x^2)(lnx)+2x^2-2=0
Η εξίσωση γράφεται: \displaystyle {(\ln x)^2} + \ln x - 2 + {x^2}\ln x + 2{x^2} = (\ln x - 1)(\ln x + 2) + {x^2}(\ln x + 2)

απ' όπου \displaystyle (\ln x + 2)(\ln x + {x^2} - 1) = 0 \Leftrightarrow \ln x + 2 = 0 \vee \ln x + x^2-1 = 0

Η πρώτη έχει λύση \boxed{x = \frac{1}{{{e^2}}}} και η δεύτερη μηδενίζεται για \boxed{x=1} και δεν μπορεί να έχει άλλη ρίζα γιατί

Αν \displaystyle x > 1 \Rightarrow \ln x > 0,{x^2} - 1 > 0 \Rightarrow \ln x + {x^2} - 1 > 0,

ενώ αν \displaystyle 0 < x < 1 \Rightarrow \ln x < 0,{x^2} - 1 < 0 \Rightarrow \ln x + {x^2} - 1 < 0


Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 415
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Εξίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Κυρ Ιουν 14, 2020 12:00 pm

Πηγή ;)

Εικόνα


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες