Μαστορέματα

Λάμπρος Μπαλός · #1

Μια ομάδα που αποτελείται από έναν τοπογράφο και μερικά μαστόρια, θέλουν να χωρίσουν το οικόπεδο Ω σε δύο οικόπεδα με ίδιο εμβαδόν, τοποθετώντας κατακόρυφα μια μεγάλη τριχιά.

: μαστορέματα.png (128.74 KiB) Προβλήθηκε 1163 φορές

Ο τοπογράφος δείχνει στα μαστόρια το σχέδιο και τους τονίζει ότι η μία πλευρά του οικοπέδου βρίσκεται πάνω στην $f(x) =\frac{1}{x}$ . Ξαφνικά, χτυπάει το τηλέφωνό του και φεύγει βιαστικά, αφήνοντας τα μαστόρια μόνα τους με μια μεγάλη τριχιά.
Μπορούν άραγε να κάνουν τη δουλειά;

KARKAR · #2

: γεωμετρικός μέσος.png (36.17 KiB) Προβλήθηκε 1116 φορές

4ptil · #3

Η $f(x)=\frac{1}{x}$ είναι συνεχής στο $\mathbb(-\propto ,0)\cup (0,\propto )$ οπότε νομίζω ότι απλά την θεωρούμε συνεχή αφού το

δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της(διορθώστε με αν είναι λάθος), άρα έστω a,b> 0

,

τα σημεία του κτιρίου που τέμνουν τον άξονα

έχω
$\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\frac{1}{x}dx=\frac{1}{2}(f'(a)-f'(b))=\frac{\ln(|a|-\ln(|b|))}{2}$
Έστω

το σημείο που θα βάλουν το σκοινί έχω: $\int_{a}^{c}\frac{1}{x}dx=\frac{\ln(|a|-\ln(|b|))}{2}\Leftrightarrow \ln(|a|)-\ln(|c|)=\frac{\ln(|a|)-\ln(|b|))}{2} \Leftrightarrow \ln(|c|)=\frac{\ln(|a|)+\ln(|b|)}{2}\Leftrightarrow e^{\ln(|c|)}=e^{\frac{\ln(|a|)+\ln(|b|)}{2}}\Leftrightarrow |c|=e^{\frac{1}{2}\ln(|a|)}(e^{\frac{1}{2}\ln(|b|)})\Leftrightarrow |c|=\sqrt{|a|}\sqrt{|b|}\Leftrightarrow c=\sqrt{ab}$ αφού a,b> 0

και

Λάμπρος Μπαλός · #4

Σωστά πολύ σωστά.
Απλώς ο λύτης διαθέτει μόνο μία τριχιά.

#5

Προφανώς το ζητούμενο ανάγεται στον προσδιορισμό του $\sqrt{ab}$ με τη χρήση τριχιάς η οποία ταυτόχρονα μπορεί να παίξει και το ρόλο του διαβήτη. Φαντάζομαι ότι αυτό μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους, τον κλασσικότερο από τους οποίους παρουσιάζω παρακάτω.

Λοιπόν αρχικά θεωρούμε τα σημεία O(0,0), A(a,0), B(b,0)

και προσδιορίζουμε το σημείο C(a+b,0)

προεκτείνοντας κατά μήκος OA=a

την

προς το

. Μετά κατασκευάζουμε τη μεσοκάθετη, και κατ' επέκταση το μέσο

, του

χρησιμοποιώντας την τριχιά ως διαβήτη χαράσσοντας κύκλους με κέντρα τα

και

κατά τα γνωστά. Έτσι κατασκευάζουμε το ημικύκλιο με διάμετρο το

το οποίο τέμνει την C_f

στο σημείο

. Από το ορθογώνιο τρίγωνο OKC

είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι $AK=\sqrt{ab}$ κι έτσι μετρώντας με την τριχιά το μήκος

βρίσκουμε σημείο

επί της

έτσι ώστε

. Πάλι με τη χρήση της τριχιάς ως διαβήτη βρίσκουμε την κάθετη $X\delta$ στην

στο σημείο

και η ημιευθεία $X\delta$ είναι η ζητούμενη που χωρίζει το χωρίο $\Omega$ σε 2 ισεμβαδικά χωρία.

Αλέξανδρος

Μαστορέματα

Μαστορέματα

Re: Μαστορέματα

Re: Μαστορέματα

Re: Μαστορέματα

Re: Μαστορέματα

Μέλη σε σύνδεση