Ακέραιες Λύσεις

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 417
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Ακέραιες Λύσεις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Σάβ Σεπ 12, 2020 5:15 pm

Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις για α,b διάφορα του μηδενός με την απολύτως απαραίτητη αιτιολόγηση. :idea:

\displaystyle a^{10}+b^{10}=a^{6}b^{5}



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12500
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ακέραιες Λύσεις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Σεπ 13, 2020 12:24 am

mick7 έγραψε:
Σάβ Σεπ 12, 2020 5:15 pm
Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις για α,b διάφορα του μηδενός με την απολύτως απαραίτητη αιτιολόγηση. :idea:

\displaystyle a^{10}+b^{10}=a^{6}b^{5}
Αν a=0 τότε b=0. Για a\ne 0, βάζοντας -a στην θέση του a,b μπορούμε να υποθέσουμε ότι a>0.

Ως δευτεροβάθμια ως προς b^5 έχουμε b^5= \frac {1}{2}(a^6\pm a^5\sqrt {a^2-4})\, (*). Η ρίζα πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο, a^2-4=c^2, δηλαδή (a-c)(a+c)=4 από όπου εύκολα a= 2,\, c=0. Πίσω στην (*), b^5=2^5, από όπου b=2.

Τελικά οι λύσεις (a,b) είναι οι (0,0), \,(\pm 2,  2).

Edit: Διόρθωσα απροσεξία σε ένα πρόσημο. Βλέπε παρακάτω.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Κυρ Σεπ 13, 2020 8:45 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 254
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ακέραιες Λύσεις

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Κυρ Σεπ 13, 2020 1:05 am

Κύριε Λάμπρου, ο εκθέτης του b στο δεξιό μέλος είναι περιττός, άρα δεν μπορούμε να έχουμε b=-2.
Οι λύσεις είναι (0,0), (\pm 2,2).


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12500
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ακέραιες Λύσεις

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Σεπ 13, 2020 8:46 am

stranger έγραψε:
Κυρ Σεπ 13, 2020 1:05 am
... δεν μπορούμε να έχουμε b=-2.
Οι λύσεις είναι (0,0), (\pm 2,2).
Έχεις δίκιο. Μου ξέφυγε αλλά τώρα το διόρθωσα. Να 'σαι καλά και ευχαριστώ.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8520
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ακέραιες Λύσεις

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Σεπ 13, 2020 5:38 pm

Μια διαφορετική προσέγγιση.

Για a=0 παίρνουμε b=0 ενώ για a=1 δεν έχουμε λύση αφού 1+b^{10} \geqslant 2|b^5| \geqslant b^5 με την ισότητα να μην λαμβάνεται.

Έστω λοιπόν πρώτος p ώστε p|a. Τότε είναι και p|b^{10} άρα και p|b. Έστω r η μέγιστη δύναμη του p που διαιρεί το a και s η μέγιστη δύναμη του p που διαιρεί το b.

Αν r > s έχουμε 10s = 6r + 5s που δίνει s = 6r/5, άτοπο.

Αν r < s έχουμε 10r = 6r+5s που δίνει r = 5s/4, πάλι άτοπο.

Άρα r = s. Αυτό ισχύει για κάθε πρώτο που διαιρεί τον a και ομοίως για κάθε πρώτο που διαιρεί τον b. Άρα a = \pm b που δίνει 2b^{10} = b^{11}. Επομένως b=2 και a=\pm 2, λύσεις που επίσης ικανοποιούν την εξίσωση.


Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 417
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Ακέραιες Λύσεις

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Τρί Σεπ 15, 2020 3:32 pm

Πολύ όμορφα.Ευχαριστώ για τις λύσεις. :clap2:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες