Ψώνια στη λαϊκή

[Γιώργος Ρίζος]

Εμπνευσμένο από τις σημειώσεις διδασκαλίας στην Άλγεβρα της Β΄Λυκείου του Μάρκου Βασίλη, που μοιράστηκε μαζί μας ΕΔΩ.

Εκεί μπορείτε να δείτε στη σελίδα 14 το πρωτότυπο, το οποίο "πείραξα" αρκετά, επεκτείνοντας τους διδακτικούς στόχους, κρατώντας, όμως, το χιούμορ του κατασκευαστή.


Γυρίζει από τη λαϊκή ένας φίλος σας, που είναι λάτρης των μήλων και της μελιτζάνας και σάς λέει:

«Σήμερα έκανα έξυπνες αγορές. Είχα ευρώ στην τσέπη και πήρα κιλά πορτοκάλια, κιλά μήλα και κιλά μελιτζάνες. Έτσι πήρα τα περισσότερα κιλά που μπορούσα με αυτά τα χρήματα. Στην αρχή σκέφτηκα να πάρω μόνο κιλά μήλα και κιλά μελιτζάνες, αφού δεν μού αρέσουν και πολύ τα πορτοκάλια, πάλι με ευρώ. Επίσης, με τα ίδια λεφτά μπορούσα να πάρω ένα κιλό πορτοκάλια, του κιλού μήλα και κιλά μελιτζάνες. Μην απορείς. Είναι ένας μερακλής μανάβης που σού δίνει ότι θες με ακρίβεια γραμμαρίου».

«Μήπως θυμάσαι τιμές;» του λέμε. «Μπα όχι. Όμως τίποτα δεν ήταν πιο φτηνό από ένα ευρώ το κιλό», μάς λέει.

«Κατ’ αρχήν», του λέμε, «αν δεν είχες προτιμήσεις, θα μπορούσες μ’ αυτά τα χρήματα να πάρεις πιο πολλά κιλά».

«Καλά, μάς δουλεύεις; Αφού δεν ξέρεις τις τιμές, πώς το λες αυτό;» Μάς λέει.

«Προφανές, αγαπητέ μου! Αρκεί να ξέρεις ανισότητες, γραμμικές εξισώσεις και συστήματα. Βγάλαμε κι ένα Λύκειο…», του λέμε και ξυνίζεται λες και δεν ξεπίκρισε σωστά στις μελιτζάνες του.

Μ’ αυτά τα δεδομένα, προσπαθήστε να απαντήσετε στις εξής ερωτήσεις:
Τι είναι πιο ακριβό; Μήλα ή πορτοκάλια;
Πόσο το πολύ μπορεί να κοστίζει κάθε είδος;
Αποδείξτε ότι θα μπορούσε να αγοράσει περισσότερα από κιλά (ανεξαρτήτως είδους) με ευρώ, έστω κι αν δεν γνωρίζουμε τις τιμές τους;
Μη ρωτήσουμε ποια είναι τα περισσότερα κιλά που θα μπορούσε να αγοράσει με ευρώ. Είναι προφανές, έτσι;

[Mihalis_Lambrou]

Επίσης, με τα ίδια λεφτά μπορούσα να πάρω ένα κιλό πορτοκάλια, του κιλού μήλα και κιλά μελιτζάνες.

Ας προσθέσω: Δείξτε ότι η παραπάνω πληροφορία είναι περιττή (δηλαδή, έπεται από τις δύο προηγούμενες).

[Γιώργος Ρίζος]

Επίσης, με τα ίδια λεφτά μπορούσα να πάρω ένα κιλό πορτοκάλια, του κιλού μήλα και κιλά μελιτζάνες.

Ας προσθέσω: Δείξτε ότι η παραπάνω πληροφορία είναι περιττή (δηλαδή, έπεται από τις δύο προηγούμενες).

Μιχάλη καλημέρα. Ακριβώς αυτό είχα στο νου μου. Ότι η αοριστία ενός συστήματος δεν προκύπτει μόνον όταν οι γραμμές του είναι πολλαπλάσια μιας άλλης, όπως στα συστήματα , αλλά μπορεί να προκύψει από τις πράξεις των γραμμών του συστήματος.

Πιστεύω ότι (και) η Γραμμική Άλγεβρα που διδασκόταν ως το 2003 λείπει από τους μαθητές μας που θα γίνουν οι μελλοντικοί φοιτητές.

Όμως, γενικότερα η διδασκαλία των συστημάτων έχει υποβαθμιστεί επικίνδυνα στο Λύκειο.
Τα Συστήματα δεν διδάσκονται στην Α΄ Λυκείου, αν και το βιβλίο έχει ασκήσεις που απαιτούν επίλυση συστήματος. Μην ακούσω τη δικαιολογία ότι "είναι γνωστά από το Γυμνάσιο". Αν ισχύει αυτό, το βιβλίο της Α΄Λυκείου θα ήταν οκτασέλιδο, αφού και οι περισσότερες έννοιες που διαπραγματεύεται "είναι γνωστές από το Γυμνάσιο".

Στη Β΄ Λυκείου, στην Άλγεβρα (που διδάσκονται όλοι οι μαθητές) διδάσκονται τα γραμμικά και μη Συστήματα καθώς και συστήματα και προβλήματα για (ολογράφως: τέσσερις) ολόκληρες (σαρανταπεντάλεπτες) ώρες! Μάλιστα στις οδηγίες λέει:

Κεφάλαιο 1ο
(Προτείνεται να διατεθούν 4 διδακτικές ώρες)
§1.1. Προτείνεται να διατεθούν 2 ώρες
Από το γυμνάσιο είναι γνωστή η έννοια των γραμμικών συστημάτων 2Χ2, η γραφική επίλυσή τους και η αλγεβρική επίλυση με τη μέθοδο της αντικατάστασης και τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών.
Με τη μέθοδο των οριζουσών να γίνουν μόνο αριθμητικά παραδείγματα.

Όμως, στη σελίδα 120 των οδηγιών, αναφέρει ότι η μέθοδος των Οριζουσών εισάγεται στη διδασκαλία της εξίσωσης ευθείας των Μαθηματικών Θετικής Κατεύθυνσης και μόνο για τους μαθητές της Θετικής κατεύθυνσης. Οπότε, η παραπάνω οδηγία μάλλον ξεχάστηκε!

Α! Μη χαιρόμαστε πολύ. Κι εκεί προειδοποιεί τους διδάσκοντες ότι: "Η διδακτική πορεία (εννοεί μέθοδος ορίζουσας) που θα επιλεγεί δεν θα είναι στην εξεταστέα ύλη. Οι μαθητές όμως πρέπει να γνωρίζουν και να χρησιμοποιούν σε ασκήσεις τα συμπεράσματα του παραπάνω πίνακα.

Δηλαδή να εξασφαλίσουμε ότι οι μαθητές θα μάθουν τα συμπεράσματα, δίχως να δώσουμε έμφαση στη "διδακτική πορεία". Αναρωτιέμαι σε ποια παιδαγωγική και διδακτική θεωρία (απ' αυτές που βλέπουμε να αναπαράγονται σε εκατοντάδες μεταπτυχιακά και διδακτορικά των στελεχών της εκπαίδευσης) στηρίζονται οι παραπάνω οδηγίες...

Οπότε, ας φτιάξουμε εδώ όμορφα παραδείγματα για όσους μαθητές έχουν το μεράκι να αναζητήσουν κάτι παραπάνω για την (αυτο)μόρφωσή τους.

[Mihalis_Lambrou]

Οπότε, ας φτιάξουμε εδώ όμορφα παραδείγματα για όσους μαθητές έχουν το μεράκι να αναζητήσουν κάτι παραπάνω για την (αυτο)μόρφωσή τους.

Γιώργο, πάρα πολύ σωστά και σοφά όσα γράφεις.

Με συγκίνησε η παραπάνω φράση δεδομένου ότι αντανακλά την διάθεση μιας μερίδας συναδέλφων που βρίσκονται ενεργά στις επάλξεις, χωρίς να κάμπτονται από τις αντίξοες συνθήκες που κυριαρχούν γύρω μας.

[Μάρκος Βασίλης]

Εμπνευσμένο από τις σημειώσεις διδασκαλίας στην Άλγεβρα της Β΄Λυκείου του Μάρκου Βασίλη, που μοιράστηκε μαζί μας ΕΔΩ.

Εκεί μπορείτε να δείτε στη σελίδα 14 το πρωτότυπο, το οποίο "πείραξα" αρκετά, επεκτείνοντας τους διδακτικούς στόχους, κρατώντας, όμως, το χιούμορ του κατασκευαστή.


Γυρίζει από τη λαϊκή ένας φίλος σας, που είναι λάτρης των μήλων και της μελιτζάνας και σάς λέει:

«Σήμερα έκανα έξυπνες αγορές. Είχα ευρώ στην τσέπη και πήρα κιλά πορτοκάλια, κιλά μήλα και κιλά μελιτζάνες. Έτσι πήρα τα περισσότερα κιλά που μπορούσα με αυτά τα χρήματα. Στην αρχή σκέφτηκα να πάρω μόνο κιλά μήλα και κιλά μελιτζάνες, αφού δεν μού αρέσουν και πολύ τα πορτοκάλια, πάλι με ευρώ. Επίσης, με τα ίδια λεφτά μπορούσα να πάρω ένα κιλό πορτοκάλια, του κιλού μήλα και κιλά μελιτζάνες. Μην απορείς. Είναι ένας μερακλής μανάβης που σού δίνει ότι θες με ακρίβεια γραμμαρίου».

«Μήπως θυμάσαι τιμές;» του λέμε. «Μπα όχι. Όμως τίποτα δεν ήταν πιο φτηνό από ένα ευρώ το κιλό», μάς λέει.

«Κατ’ αρχήν», του λέμε, «αν δεν είχες προτιμήσεις, θα μπορούσες μ’ αυτά τα χρήματα να πάρεις πιο πολλά κιλά».

«Καλά, μάς δουλεύεις; Αφού δεν ξέρεις τις τιμές, πώς το λες αυτό;» Μάς λέει.

«Προφανές, αγαπητέ μου! Αρκεί να ξέρεις ανισότητες, γραμμικές εξισώσεις και συστήματα. Βγάλαμε κι ένα Λύκειο…», του λέμε και ξυνίζεται λες και δεν ξεπίκρισε σωστά στις μελιτζάνες του.

Μ’ αυτά τα δεδομένα, προσπαθήστε να απαντήσετε στις εξής ερωτήσεις:
Τι είναι πιο ακριβό; Μήλα ή πορτοκάλια;
Πόσο το πολύ μπορεί να κοστίζει κάθε είδος;
Αποδείξτε ότι θα μπορούσε να αγοράσει περισσότερα από κιλά (ανεξαρτήτως είδους) με ευρώ, έστω κι αν δεν γνωρίζουμε τις τιμές τους;
Μη ρωτήσουμε ποια είναι τα περισσότερα κιλά που θα μπορούσε να αγοράσει με ευρώ. Είναι προφανές, έτσι;

Πολύ ωραία και ουσιαστική επέκταση κύριε Γιώργο!

[Γιώργος Ρίζος]

Καλημέρα σε όλους. Μετά από εύλογο χρονικό διάστημα, για να μην μείνει αναπάντητο.

Γυρίζει από τη λαϊκή ένας φίλος σας, που είναι λάτρης των μήλων και της μελιτζάνας και σάς λέει:

«Σήμερα έκανα έξυπνες αγορές. Είχα ευρώ στην τσέπη και πήρα κιλά πορτοκάλια, κιλά μήλα και κιλά μελιτζάνες. Έτσι πήρα τα περισσότερα κιλά που μπορούσα με αυτά τα χρήματα. Στην αρχή σκέφτηκα να πάρω μόνο κιλά μήλα και κιλά μελιτζάνες, αφού δεν μού αρέσουν και πολύ τα πορτοκάλια, πάλι με ευρώ. Επίσης, με τα ίδια λεφτά μπορούσα να πάρω ένα κιλό πορτοκάλια, του κιλού μήλα και κιλά μελιτζάνες. Μην απορείς. Είναι ένας μερακλής μανάβης που σού δίνει ότι θες με ακρίβεια γραμμαρίου».

«Μήπως θυμάσαι τιμές;» του λέμε. «Μπα όχι. Όμως τίποτα δεν ήταν πιο φτηνό από ένα ευρώ το κιλό», μάς λέει.

«Κατ’ αρχήν», του λέμε, «αν δεν είχες προτιμήσεις, θα μπορούσες μ’ αυτά τα χρήματα να πάρεις πιο πολλά κιλά».

«Καλά, μάς δουλεύεις; Αφού δεν ξέρεις τις τιμές, πώς το λες αυτό;» Μάς λέει.

«Προφανές, αγαπητέ μου! Αρκεί να ξέρεις ανισότητες, γραμμικές εξισώσεις και συστήματα. Βγάλαμε κι ένα Λύκειο…», του λέμε και ξυνίζεται λες και δεν ξεπίκρισε σωστά στις μελιτζάνες του.

Μ’ αυτά τα δεδομένα, προσπαθήστε να απαντήσετε στις εξής ερωτήσεις:
Τι είναι πιο ακριβό; Μήλα ή πορτοκάλια;
Πόσο το πολύ μπορεί να κοστίζει κάθε είδος;
Αποδείξτε ότι θα μπορούσε να αγοράσει περισσότερα από κιλά (ανεξαρτήτως είδους) με ευρώ, έστω κι αν δεν γνωρίζουμε τις τιμές τους;
Μη ρωτήσουμε ποια είναι τα περισσότερα κιλά που θα μπορούσε να αγοράσει με ευρώ. Είναι προφανές, έτσι;

Έστω το κόστος πορτοκαλιών, μήλων και μελιτζάνων αντίστοιχα.

Έχουμε . Το σύστημα είναι αόριστο, άρα δεν μπορούμε να ξέρουμε την τιμή κάθε είδους.

Από (1) και (2) είναι , άρα κάθε κιλό μήλα κοστίζει όσο κιλό πορτοκάλια.

Αφού , θα είναι , άρα .

Αφού , θα είναι .

Έτσι, για τη μέγιστη δυνατή τιμή των πορτοκαλιών, που είναι ευρώ, με ευρώ μπορούμε να πάρουμε κιλά, περισσότερα από τα που ψώνισε.