Οριακή διαφορά ορίων

KARKAR · #1

Να συγκρίνετε ( νομότυπα ! ) τα παρακάτω όρια :

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left({\dfrac{3x+1}{3x-1}\right)^x}$ , $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left({\sqrt{x+\dfrac{2\pi^2}{5}\sqrt{x}}-\sqrt{x}\right)$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 14, 2020 11:21 am
Να συγκρίνετε ( νομότυπα ! ) τα παρακάτω όρια :

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left({\dfrac{3x+1}{3x-1}\right)^x}$ , $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left({\sqrt{x+\dfrac{2\pi^2}{5}\sqrt{x}}-\sqrt{x}\right)$

το ένα όριο είναι $e^{\frac{2}{3}}$
και το άλλο $\frac{\pi ^{2}}{5}$
Είναι αυτονόητο ότι $\frac{\pi ^{2}}{5}> e^{\frac{2}{3}}$
Πας σε κομπιουτεράκι ,ενω αν είσαι στον προηγούμενο αιώνα τα εκτιμάς.
Αρκεί να θεωρήσεις ότι $\pi > 3,14$
και να πάρεις ότι
$e^{x}\leq 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+3\frac{x^4}{24}$
όταν x<1

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 14, 2020 11:21 am
Να συγκρίνετε ( νομότυπα ! ) τα παρακάτω όρια :

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left({\dfrac{3x+1}{3x-1}\right)^x}$ , $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left({\sqrt{x+\dfrac{2\pi^2}{5}\sqrt{x}}-\sqrt{x}\right)$

H εύρεση των ορίων είναι στάνταρ.

Το πρώτο είναι

$\displaystyle{= \dfrac{(3x)^x \left(1+\dfrac {1}{3x}\right )^x }{(3x)^x \left(1-\dfrac {1}{3x}\right )^x }\to \dfrac {e^{1/3} }{e^{-1/3}}= e^{2/3}}$

To δεύτερο με πολλαπλασιασμό με τον συζυγή είναι

$\displaystyle{=\dfrac {a\sqrt{x}}{\sqrt{x+a\sqrt{x}}+\sqrt{x}} \to a/2 = \dfrac{\pi^2}{5}}$

Οπότε συγκρίνουμε τους δύο αριθμούς.

Με καθόλου διασκεδαστικό τρόπο (που υποθέτω ότι επιτρέπεται σε αυτόν τον φάκελο) το κομπιουτεράκι μου δίνει τιμές $\approx 1,97$ και $\approx 1,94$ , αντίσοιχα.

Edit: Με πρόλαβε ο Σταύρος. Το αφήνω...

Οριακή διαφορά ορίων

Οριακή διαφορά ορίων

Re: Οριακή διαφορά ορίων

Re: Οριακή διαφορά ορίων

Μέλη σε σύνδεση