Χαλαρότητα και ανισοϊσότητα

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12635
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Χαλαρότητα και ανισοϊσότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Φεβ 05, 2021 8:19 pm

Σαββατοκύριακο , άρα είμαστε χαλαροί ( η ψυχή μας το ξέρει ) . Ώρα λοιπόν για χαριτωμένο θέμα :

Δείξτε με κάθε - μαθηματικώς ορθό - τρόπο , ότι : \displaystyle (x^2+3)^\frac{1}{2} \geq \dfrac{1}{2}(x+3) , \forall x \in \mathbb{R} .

Ένα σχετικό ερώτημα : Αν μια ισότητα ισχύει για όλα τα x , όλοι την λέμε ταυτότητα .

Μια ανισοϊσότητα σαν την παραπάνω , πως θα προτείνατε να την λέμε ;



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13356
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Χαλαρότητα και ανισοϊσότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Φεβ 05, 2021 8:38 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Φεβ 05, 2021 8:19 pm
Σαββατοκύριακο , άρα είμαστε χαλαροί ( η ψυχή μας το ξέρει ) . Ώρα λοιπόν για χαριτωμένο θέμα :

Δείξτε με κάθε - μαθηματικώς ορθό - τρόπο , ότι : \displaystyle (x^2+3)^\frac{1}{2} \geq \dfrac{1}{2}(x+3) , \forall x \in \mathbb{R} .

Ένα σχετικό ερώτημα : Αν μια ισότητα ισχύει για όλα τα x , όλοι την λέμε ταυτότητα .

Μια ανισοϊσότητα σαν την παραπάνω , πως θα προτείνατε να την λέμε ;

α' τρόπος. Αν το δεξί μέλος είναι αρνητικό, δεν έχουμε τίποτα να αποδείξουμε. Αλλιώς, ισοδύναμα, υψώνουμε στο τετράγωνο. Δίνει

\displaystyle{4(x^2+3) \ge x^2+6x+9} ή αλλιώς \displaystyle{3(x^2-2x+1)\ge 0}, που ισχύει.

β' τρόπος. Από CS είναι

\displaystyle{ \dfrac{1}{2}(x+3) = \dfrac{1}{2}(1\cdot x+\sqrt 3\cdot \sqrt 3) \le \dfrac{1}{2} \sqrt {1+3}\sqrt {x^2+3}  = (x^2+3)^\frac{1}{2}}

Ομολογώ ότι αδυνατώ να καταλάβω τι δουλειά έχει η άσκηση στον φάκελο των Διασκεδαστικών Μαθηματικών. Άλλωστε πρόκειται για κοινότατη άσκηση.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12635
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Χαλαρότητα και ανισοϊσότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Φεβ 10, 2021 7:36 am

ανισότητα.png
ανισότητα.png (17.67 KiB) Προβλήθηκε 288 φορές
Έβαλα την άσκηση σ' αυτόν τον φάκελο πιθανολογώντας ότι κάποιος θα αναζητούσε μια

πιο "εξτρίμ" λύση , όπως αυτή του σχήματος , με αξιοποίηση κυρτότητας και εφαπτομένης .

Εικάζω ότι δεν υπάρχει στην ορολογία κάτι καλύτερο από το "μόνιμη ανισοϊσότητα " :?:


perpant
Δημοσιεύσεις: 459
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 11, 2011 2:09 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Χαλαρότητα και ανισοϊσότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από perpant » Τετ Φεβ 10, 2021 9:49 am

Καλημέρα. Καθολική ανισοϊσότητα;


Παντούλας Περικλής
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13356
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Χαλαρότητα και ανισοϊσότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Φεβ 10, 2021 12:06 pm

Παλαιότερα υπήρχε ο όρος "μόνιμη ανισότητα" καθώς και ο "ανισοταυτότητα", αλλά δεν καθιερώθηκαν.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης