Περιοδική ακολουθία

ksofsa · #1

Καλησπέρα!

Μια ιδιοκατασκευή:

Έστω συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ και κάποια τιμή $x_{0}$ . Ξεκινάμε από την τιμή $x_{0}$ και υπολογίζουμε τις τιμές $x_{0}, f(x_{0}),f(f(x_{0})),f(f(f(x_{0}))),...$ , σχηματίζοντας άπειρη ακολουθία.

Για κάποιες συναρτήσεις

και για κάποιες αρχικές τιμές $x_{0}$ , η ακολουθία που σχηματίζεται είναι περιοδική. Παράδειγμα : $f(x)=x^2-1,x_{0}=-1$ , οπότε έχουμε την ακολουθία -1,0,-1,0,...

.

Έστω

. Να προσδιορίσετε όλες τις τιμές του $x_{0}$ , ώστε η ακολουθία που σχηματίζεται να είναι περιοδική.

ksofsa · #2

Καλησπέρα!

Πριν δώσω τη λύση , θα ήθελα να πω ότι η λύση είναι πολύ απλή ,καθώς στηρίζεται σε μία απλή παρατήρηση (λύση 2-3 γραμμών). Αν είχαμε να κάνουμε με άλλη συνάρτηση θα ήταν ίσως πολύ δύσκολα τα πράγματα , αλλά η επιλογή της συγκεκριμένης συνάρτησης επιτρέπει να δώσουμε πολύ σύντομη και απλή απόδειξη. Αυτό καθιστά και το θέμα διασκεδαστικό, εξ ου και ο φάκελος.

DrStrange · #3

Η συνθήκη περιοδικότητας είναι ισοδύναμη με το να υπάρχει

θετ. ακερ. και πραγματικός

τέτοιος ώστε f^n(x)=x

(

σύνθεση).
Παρατηρούμε όμως ότι $f(x)=x^2(x-1)^2+x \ge x$ με ισότητα ανν x=0

ή

. Άρα $f^n(x) \ge x$ (επαγωγικά) και συνεπώς πρέπει x=0

ή

. Και τα δύο ικανοποιούν αφού f(0)=0

και

.

ksofsa · #4

Πολύ ωραία!

Στη λύση σας φαίνεται ξεκάθαρα η ιδέα κατασκευής της άσκησης, δηλαδή η ανισότητα $f(x)\geq x$ .

Σας ευχαριστώ για την απάντηση!

Περιοδική ακολουθία

Περιοδική ακολουθία

Re: Περιοδική ακολουθία

Re: Περιοδική ακολουθία

Re: Περιοδική ακολουθία

Μέλη σε σύνδεση