«Χρυσή» εξίσωση

Tolaso J Kos · #1

Να λυθεί η εξίσωση

$\displaystyle{\left ( x -\frac{1}{x} \right )^{1/2} + \left ( 1- \frac{1}{x} \right )^{1/2} = x }$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 29, 2021 1:42 am
Να λυθεί η εξίσωση

$\displaystyle{\left ( x -\frac{1}{x} \right )^{1/2} + \left ( 1- \frac{1}{x} \right )^{1/2} = x }$

Από τον τίτλο και μόνο, υπέθεσα ότι $\boxed{x = \Phi = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}}$ Πράγματι για κάθε $x \ge 1$ είναι:

$\displaystyle \sqrt {\frac{{{x^2} - 1}}{x}} = x - \sqrt {\frac{{x - 1}}{x}} ,$

$\displaystyle \frac{{{x^2} - 1}}{x} = {x^2} + \frac{{x - 1}}{x} - 2x\frac{{\sqrt {{x^2} - x} }}{x} \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 2\sqrt {{x^2} - x} \mathop \Leftrightarrow \limits^{{x^2} - x = t}$

$\displaystyle t - 2\sqrt t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1$ και $\displaystyle {x^2} - x - 1 = 0,$ απ' όπου προκύπτει ο χρυσός λόγος.

«Χρυσή» εξίσωση

«Χρυσή» εξίσωση

Re: «Χρυσή» εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση