Αξιοθρήνητες δίδυμες εξισώσεις

KARKAR · #1

Α) Λύστε την εξίσωση : $(x+2)^{x-2}-(x-2)^x=0$

Β) Λύστε την εξίσωση : $(x+2)^{x-2}-(x-2)^x=100$

Αν σας ξεφύγει και καμιά λύση , δεν χάθηκε ο κόσμος

Tolaso J Kos · #2

KARKAR έγραψε: Τετ Μάιος 26, 2021 1:24 pm Α) Λύστε την εξίσωση : $(x+2)^{x-2}-(x-2)^x=0$

Καταρχήν πρέπει x >2

. Τότε, η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:

$\displaystyle{\begin{aligned} (x+2)^{x-2}-(x-2)^x=0 &\Leftrightarrow \left ( x + 2 \right )^{x-2} = \left ( x -2 \right )^x \\ &\Leftrightarrow (x-2) \ln (x+2) = x \ln (x-2) \\ &\Leftrightarrow (x-2) \ln (x+2) - x \ln (x-2) =0 \\ &\Leftrightarrow 2x \tanh^{-1} \frac{2}{x} - 2 \ln (x+2) =0 \\ &\Leftrightarrow x \tanh^{-1} \frac{2}{x} - \ln (x+2) =0 \end{aligned}}$
Όμως η $\tanh^{-1}$ είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της και συνεχής. Επειδή για κάθε x>2

η $\frac{2}{x}$ είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής έπεται ότι η $\tanh^{-1} \frac{2}{x}$ είναι γνησίως φθίνουσα. Τέλος, το γινόμενο αποτελείται από θετικούς όρους ( και είναι συνεχής συνάρτηση ) και έτσι προκύπτει ότι η μονοτονία αυτού είναι γνησίως φθίνουσα. Άρα όλο το πρώτο μέλος είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση. Παρατηρούμε ότι το

είναι ρίζα αυτής της συνάρτησης και μάλιστα μοναδική λόγω μονοτονίας.

με σπαραγμό!!

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Θαρρώ κάπως αντίστοιχα "θρηνείται" και η δεύτερη. Όχι;

KARKAR · #3

Στο διάστημα (100 , 1000)

υπάρχει το ζεύγος ( 676 , 576 )

, για το οποίο : 26^2-24^2=100

. Εντυπωσιακότερο

είναι το ζεύγος (343 , 243)

για το οποίο 7^3-3^5=100

. Σ' αυτό στηρίχθηκε το β΄ ερώτημα .

Βέβαια η εξίσωση αυτή πλην της προφανούς x=5

, έχει και δεύτερη λύση ( της οποίας η μη εύρεση συγχωρείται

) .

Γράφοντας , όμως , αυτή , προέκυψε και η πρώτη , η οποία όντως έχει μοναδική λύση το x=6

.

Φυσικά , δεν περίμενα ότι θα υπήρχε και απόπειρα απόδειξης της μοναδικότητας

.

Μήπως έχετε παρατηρήσει κι εσείς κάποια τέτοια εντυπωσιακά ζεύγη ;

Αξιοθρήνητες δίδυμες εξισώσεις

Αξιοθρήνητες δίδυμες εξισώσεις

Re: Αξιοθρήνητες δίδυμες εξισώσεις

Re: Αξιοθρήνητες δίδυμες εξισώσεις

Μέλη σε σύνδεση