Μεγάλες κατασκευές 65

KARKAR · #1

: Μεγάλες κατασκευές 65.png (8.17 KiB) Προβλήθηκε 750 φορές

Κατασκευάστε ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, στο οποίο η υποτείνουσα

να είναι διπλάσια της διχοτόμου

.

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Νοέμ 16, 2021 2:47 pm Μεγάλες κατασκευές 65.pngΚατασκευάστε ορθογώνιο τρίγωνο , στο οποίο η υποτείνουσα να είναι διπλάσια της διχοτόμου .

Από τον νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο $\vartriangle ADC\Rightarrow \dfrac{d}{2d}=\dfrac{\sin \left( {{90}^{0}}-A \right)}{\sin \left( {{90}^{0}}+\dfrac{A}{2} \right)}\Rightarrow \dfrac{1}{2}=\dfrac{\cos A}{\cos \dfrac{A}{2}}\Rightarrow 2\cos A=\cos \dfrac{A}{2}$
$\Rightarrow 4{{\cos }^{2}}\dfrac{A}{2}-\cos \dfrac{A}{2}-2=0\overset{\cos \frac{A}{2}>0}{\mathop{\Rightarrow }}\,\cos \dfrac{A}{2}=\dfrac{1+\sqrt{33}}{8}$ και συνεπώς κατασκευάζεται το $\vartriangle ABD$ άρα και το $\vartriangle ABC$

#3

KARKAR έγραψε: Τρί Νοέμ 16, 2021 2:47 pm Μεγάλες κατασκευές 65.pngΚατασκευάστε ορθογώνιο τρίγωνο , στο οποίο η υποτείνουσα να είναι διπλάσια της διχοτόμου .

Με Π. Θ στο τρίγωνο ABD

κι επειδή είναι a=2d

και

έχω:

$\displaystyle \frac{{{a^2}}}{4} = {c^2} + {\left( {\frac{{bc}}{{a + c}}} \right)^2} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow {a^2} + ac - 8{c^2} = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{a = \frac{c}{2}\left( {\sqrt {33} - 1} \right)}$ και το τρίγωνο κατασκευάζεται.

KARKAR · #4

Αυτό είναι ένα θέμα που τοποθετήθηκε σε λάθος φάκελο

. Με την ευκαιρία θέτω το ερώτημα :

Κατασκευάζεται το τρίγωνο χωρίς να προηγηθούν οι υπολογισμοί ;

Αυτό δεν σημαίνει φυσικά ότι οι προταθείσες κατασκευές χάνουν κάτι από την εγκυρότητά τους ...

STOPJOHN · #5

KARKAR έγραψε: Τρί Νοέμ 16, 2021 2:47 pm Μεγάλες κατασκευές 65.pngΚατασκευάστε ορθογώνιο τρίγωνο , στο οποίο η υποτείνουσα να είναι διπλάσια της διχοτόμου .

Εστω

τότε το τριγωνο LBD

είναι ισοσκελές ,

$BL=AB,\hat{ALB}=\hat{DBC}= \hat{ABD}=\hat{BAL}$

Οπότε

$\dfrac{DC}{b}=\dfrac{2d}{2d+c}=\dfrac{d}{AL}\Rightarrow AL=d+\dfrac{c}{2},(1),$

Απο το νόμο των συνημίτονων στο τρίγωνο

$ALB,AL=2c.cos\omega \Rightarrow AL=\dfrac{2c^{2}}{d},(2), (1),(2)\Rightarrow 4c^{2}-dc-2d^{2}=0\Rightarrow c=d.\dfrac{1+\sqrt{33}}{8}$

#6

KARKAR έγραψε: Τρί Νοέμ 16, 2021 2:47 pm Μεγάλες κατασκευές 65.pngΚατασκευάστε ορθογώνιο τρίγωνο , στο οποίο η υποτείνουσα να είναι διπλάσια της διχοτόμου .

Ανάλυση

Ας είναι γνωστό και σταθερό το BD = d.

Έστω λυμένο το πρόβλημα . Η ευθεία της διχοτόμου

τέμνει το ημικύκλιο

διαμέτρου

στο

και στο σημείο

, την εφαπτομένη του ημικυκλίου στο

.

Αβίαστα προκύπτει ότι οι κίτρινες γωνίες είναι ίσες και $\boxed{DM = MT = x}$ .

: Μεγάλες κατασκευές 65_ανάλυση.png (16.57 KiB) Προβλήθηκε 682 φορές

Από το Θ. Ευκλείδη στο $\vartriangle CTB$ έχω :

$B{C^2} = BM \cdot BT \Rightarrow 4{d^2} = \left( {d + x} \right)\left( {d + 2x} \right) \Leftrightarrow \boxed{x\left( {x + \frac{{3d}}{2}} \right) = \frac{3}{2}{d^2}}$

Κατασκευή
Κατασκευάζω το

και μετά ο κύκλος $\left( {B,d + 2x} \right)$ τέμνει στο

την εις το

εφαπτομένη του ημικυκλίου .

Κατασκευή του

:

: Μεγάλες κατασκευές 65_κατασκευή.png (17.08 KiB) Προβλήθηκε 682 φορές

Το ημικύκλιο έχει διάμετρο AB = 5d

, $\boxed{S{C^2} = 2d \cdot 3d = 6{d^2}}$ , ο κύκλος έχει διάμετρο $EB = \dfrac{{3d}}{2}$ και η ευθεία $\varepsilon$ είναι μεσοκάθετος του

.

Απόδειξη.

$F{B^2} = FG \cdot FJ \Rightarrow \boxed{\frac{{3{d^2}}}{2} = x\left( {x + \frac{{3d}}{2}} \right)}$

Μεγάλες κατασκευές 65

Μεγάλες κατασκευές 65

Re: Μεγάλες κατασκευές 65

Re: Μεγάλες κατασκευές 65

Re: Μεγάλες κατασκευές 65

Re: Μεγάλες κατασκευές 65

Re: Μεγάλες κατασκευές 65

Μέλη σε σύνδεση