Εντυπωσιακό αλλά υπαρκτό ;

KARKAR · #1

: Εντυπωσιακό τετράπλευρο.png (78.89 KiB) Προβλήθηκε 708 φορές

Πέραν της ομορφιάς του , το τετράπλευρο έχει και την ιδιότητα , η περίμετρος

και το εμβαδόν του , να εκφράζονται με τον ίδιο αριθμό . Υπάρχει άραγε ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 19, 2022 2:54 pm
Εντυπωσιακό τετράπλευρο.pngΠέραν της ομορφιάς του , το τετράπλευρο έχει και την ιδιότητα , η περίμετρος

και το εμβαδόν του , να εκφράζονται με τον ίδιο αριθμό . Υπάρχει άραγε ;

βεβαίως υπάρχει. Πρόκειται για τρία ορθογώνια τρίγωνα 3-4-5

κολλημένα πλάτη με πλάτη. Εμβαδόν ίσον περίμετρος ίσον

.

Η μέθοδος λύσης; Εδώ:
.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Ας δειχθεί ότι δεν υπάρχει άλλο παράδειγμα.

#4

Demetres έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 20, 2022 8:28 pm
Ας δειχθεί ότι δεν υπάρχει άλλο παράδειγμα.

Aν

το εμβαδόν του ACD

η υπόθεση γράφεται $\dfrac {1}{2}a(a+1)+E= a+(a+1)+(a+2)+(a+3)$ . Ισοδύναμα 2E=12+7a-a^2

.

Από τον τύπο του Ήρωνα στο ACD

στην μορφή 16E^2=4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2

, όπου εδώ παίρνουμε c=AC

, οπότε από Πυθαγόρειο c^2=a^2+(a+1)^2

, θα βρούμε 16E^2=4a(a+1)(a^2+9a+12)

Εξισώνοντας τις δύο παραστάσεις του

θα καταλήξουμε στην εξίσωση $\displaystyle{96a^3-16a^2-624a-576=0}$ . Δεν είναι δύσκολο να την παραγοντοποιήσουμε δεδομένου ότι ξέρουμε ότι μία ρίζα είναι η a=3

. Θα καταλήξουμε στην

16(2a+3)(3a+4)(a-3)=0

δηλαδή μοναδική (θετική) ρίζα η a=3

, όπως θέλαμε.

Σχόλιο: Αν βάζαμε περιορισμό το

να είναι φυσικός, υπάρχει λύση σε δυό γραμμές. Το αφήνω για άλλους, και θα επανέλθω αν χρειαστεί.

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 20, 2022 10:25 pm
Σχόλιο: Αν βάζαμε περιορισμό το να είναι φυσικός, υπάρχει λύση σε δυό γραμμές.

Είναι

, το οποίο είναι θετικό εντός των ριζών. Η μία ρίζα είναι αρνητική και η άλλη είναι $\frac {1}{2}(7+\sqrt {97}) \approx 8,4$ . Άρα τα πιθανά

είναι το πολύ τα $a=1,\, 2,\, 3, \,...\,,\,8$ . Ελέγχουμε τώρα με το χέρι ποια από αυτά οδηγούν σε λύση. Kαι λοιπά.

Εντυπωσιακό αλλά υπαρκτό ;

Εντυπωσιακό αλλά υπαρκτό ;

Re: Εντυπωσιακό αλλά υπαρκτό ;

Re: Εντυπωσιακό αλλά υπαρκτό ;

Re: Εντυπωσιακό αλλά υπαρκτό ;

Re: Εντυπωσιακό αλλά υπαρκτό ;

Μέλη σε σύνδεση