Το "λάθος"

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 14905
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Το "λάθος"

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 28, 2022 7:56 pm

Αν : a+b=2 και a^2+b^2=3 , τότε : a^3+b^3= ...

Αν : a+b=3 και a^2+b^2=2 , τότε : a^3+b^3=...

Η άσκηση δόθηκε ( υποθετικά ) σε μαθητές του ( σημερινού) Λυκείου .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1732
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Το "λάθος"

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Ιαν 28, 2022 11:56 pm

Δεν γνωρίζουμε το επίπεδο των μαθητών , ούτε την τάξη.

Αν είναι Α΄Λυκείου βλέπω πιθανό και το
\displaystyle \begin{array}{l} 
a + b = 2 \Rightarrow {a^3} + {b^3} = {2^3} = 8\\ 
a + b = 3 \Rightarrow {a^3} + {b^3} = {3^3} = 27 
\end{array}
... η άλλη σχέση της υπόθεσης , απλά δεν χρειάζεται ...

Αν είναι πιο σοβαροί θα το λύσουν κάπως έτσι :
\displaystyle \begin{array}{l} 
a + b = 2\\ 
{a^2} + {b^2} = 3 \Rightarrow {(a + b)^2} - 2ab = 3 \Rightarrow ab = \frac{1}{2}\\ 
{a^3} + {b^3} = (a + b)({a^2} - ab + {b^2}) = 2(3 - 1/2) = 5\\ 
\\ 
a + b = 3\\ 
{a^2} + {b^2} = 2 \Rightarrow {(a + b)^2} - 2ab = 3 \Rightarrow ab = 3\\ 
{a^3} + {b^3} = 3(9 - 3) = 18 
\end{array}
αδιαφορώντας για την ψευδή υπόθεση

Αν είναι Β΄Λυκείου ή παραπάνω θα το πάρουν σαν σύστημα
\displaystyle {a^2} + {b^2} = 3 \Rightarrow {a^2} + {(2 - a)^2} = 3 \Rightarrow 2{a^2} - 4a + 1 = 0
κι αφού η τελευταία δεν έχει "καλές" ρίζες θα την παρατήσουν

Για τη δεύτερη περίπτωση :
\displaystyle {a^2} + {b^2} = 2 \Rightarrow {a^2} + {(3 - a)^2} = 2 \Rightarrow 2{a^2} - 6a + 7 = 0
κι αφού \displaystyle \Delta  < 0 το σύστημα είναι αδύνατο άρα δεν υπάρχουν τέτοια \displaystyle a,b
οπότε το \displaystyle {a^3} + {b^3} δεν υπολογίζεται
Αν κάποιος σκεφτεί να σχεδιάσει τις γραμμές της υπόθεσης θα δεί ότι ο κύκλος και η ευθεία
δεν τέμνονται άρα πάλι δεν υπάρχουν τέτοια \displaystyle a,b


Kαλαθάκης Γιώργης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15704
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Το "λάθος"

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 29, 2022 12:09 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 28, 2022 7:56 pm
Αν : a+b=2 και a^2+b^2=3 , τότε : a^3+b^3= ...

Αν : a+b=3 και a^2+b^2=2 , τότε : a^3+b^3=...

Η άσκηση δόθηκε ( υποθετικά ) σε μαθητές του ( σημερινού) Λυκείου .
H άσκηση είναι το ξαδελφάκι αυτής, οπότε είμαστε διπλά προσεκτικοί.

α) Οι δύο πρώτες δίνουν 3=a^2+b^2=a^2+(2-a)^2= 2a^2-4a+4. Άρα 2a^2-4a+1=0. Λύνω την εξίσωση. Θα βρω (πραγματικές) ρίζες a= \dfrac {2\pm \sqrt 2}{2} από όπου και το b. Πάμε τώρα να υπολογίσουμε το a^3+b^3 για τις τιμές που βρήκαμε.

Ουφ, πολλές οι πράξεις. Ας βρούμε άλλο τρόπο τώρα που εξασφαλίσαμε ότι έχει πραγματικές ρίζες: Είναι

2ab= (a+b)^2-(a^2+b^2)= 4-3=1, οπότε ab= \dfrac {1}{2}. Άρα

a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)= 8-3\cdot \dfrac {1}{2}\cdot 2=5

β) Τώρα που πονηρευτήκαμε από το ποστ που παρέπεμψα, έχουμε \displaystyle{3=a+b \le \sqrt {1^2+1^2}\sqrt {a^2+b^2} = \sqrt 2 \sqrt 3 = \sqrt 6}.

Όπααααα, αυτό δε γίνεται αφού \sqrt 6 \approx 2,45 και άρα κάποιον λάκκο έχει η φάβα. Μου την έστησε ο Θανάσης και άντε βγάλε άκρη. Μήπως το μήνυμα του είναι να σκεφτόμαστε να επιστρέψουν οι μιγαδικοί στο (σημερινό) Λύκειο; Ποιος ξέρει;

Edit: Με πρόλαβε ο συντοπίτης. Το αφήνω.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5279
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Το "λάθος"

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Ιαν 29, 2022 8:28 am

Το βρήκα το λάθος. Γράφω παρακάτω τη σωστή διατύπωση.
KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 28, 2022 7:56 pm
Αν : a+b=2 και a^2+b^2=3 , τότε : a^3+b^3= ...

Αν : a+b=3 και a^2+b^2=2 , τότε : a^3+b^3=...

Η άσκηση δόθηκε ( σήμερα ) σε μαθητές του (υποθετικού) Λυκείου .

(Αργότερα, μέσα στο Σαββατοκύριακο, θα επιχειρήσω μιαν άλλη προσέγγιση "επί της ουσίας" του ερωτήματος).

edit (15:40):

1ο) Έστω ότι υπάρχουν  \displaystyle a,b \in R που να ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες.

Από την ταυτότητα  \displaystyle {\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + 2ab και την υπόθεση, έχουμε  \displaystyle ab = \frac{1}{2} (1).

Επίσης, από ταυτότητα Euler, (που υπήρχε μέχρι πριν λίγα χρόνια στο σχολικό βιβλίο της Α΄Λυκείου), έχουμε

 \displaystyle a + b - 2 = 0 \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {\left( { - 2} \right)^3} = 3ab\left( { - 2} \right)\mathop  = \limits_{\left( 1 \right)}  - 3

 \displaystyle  \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} = 8 - 3 = 5 .

Τα a,b είναι ρίζες της εξίσωσης  \displaystyle {x^2} - 2x + \frac{1}{2} = 0 που έχει θετική διακρίνουσα, άρα υπάρχουν  \displaystyle a,b \in R που να ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες.


2ο) Έστω ότι υπάρχουν  \displaystyle a,b \in R που να ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες.

Από την ταυτότητα  \displaystyle {\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + 2ab και την υπόθεση, έχουμε  \displaystyle ab = \frac{7}{2} (1).

Επίσης, από ταυτότητα Euler έχουμε

 \displaystyle a + b - 3 = 0 \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {\left( { - 3} \right)^3} = 3ab\left( { - 3} \right)\mathop  = \limits_{\left( 1 \right)}  - \frac{{63}}{2}

 \displaystyle  \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} = 27 - \frac{{63}}{2} =  - \frac{9}{2} , αδύνατο, αφού οι a,b είναι ομόσημοι με θετικό άθροισμα, άρα θετικοί.

(Επίσης, μπορούμε να καταλήξουμε στο άτοπο, βλέποντας ότι τα a,b είναι ρίζες της εξίσωσης  \displaystyle {x^2} - 3x + \frac{7}{2} = 0 που έχει αρνητική διακρίνουσα, άρα δεν υπάρχουν  \displaystyle a,b \in R που να ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες.


Θα ελέγξουμε με διαφορετικό τρόπο τη συμβατότητα των αρχικών υποθέσεων:

Για το 1ο:

Έστω  \displaystyle a = \sqrt 3 \sigma \upsilon \nu \varphi ,\;\;b = \sqrt 3 \eta \mu \varphi ,\;\forall \varphi  \in R , οπότε  \displaystyle {a^2} + {b^2} = 3 και

 \displaystyle a + b = \sqrt 3 \left( {\eta \mu \varphi  + \sigma \upsilon \nu \varphi } \right) = \sqrt 6 \eta \mu \left( {\frac{\pi }{4} + \varphi } \right) , οπότε η 1η συνθήκη  \displaystyle \left( {a + b = 2} \right) γράφεται ισοδύναμα  \displaystyle \eta \mu \left( {\frac{\pi }{4} + \varphi } \right) = \frac{{\sqrt 6 }}{3} , που έχει λύση.

Για το 2ο:

Έστω  \displaystyle a = \sqrt 2 \sigma \upsilon \nu \varphi ,\;\;b = \sqrt 2 \eta \mu \varphi ,\;\forall \varphi  \in R , οπότε  \displaystyle {a^2} + {b^2} = 2 και

 \displaystyle a + b = \sqrt 2 \left( {\eta \mu \varphi  + \sigma \upsilon \nu \varphi } \right) = 2\eta \mu \left( {\frac{\pi }{4} + \varphi } \right) \le 2 , οπότε η 1η συνθήκη  \displaystyle \left( {a + b = 3} \right) οδηγεί σε άτοπο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης